Modèle de Cox, Rubinstein et Ross

Introduction

Le modèle de Cox-Rubinstein-Ross est un modèle pour l'évaluation d'option.
Dans ce modèle, il y a deux actifs: le liquide et une action. Les hypothèses que l'on fait sont les suivantes:
  • Au temps initial \(0\), la valeur de l'action est \(P_{0}\)
  • Entre le temps N et le temps N+1, le liquide en portefeuille est multiplié par \(1+r\).
  • Entre le temps N et le temps N+1, le prix de l'action est multiplié par \(1+H\) avec une probabilité strictement comprise entre 0 et 1. Autrement, le prix de l'action est multiplié par \(1-B\).
  • Il est possible de acheter et de vendre à découvert, c'est-à-dire que l'on peut détenir une quantité négative de liquide ou d'action.
Si \(0<1-B<1+r<1+H\), alors on peut alors montrer que:
  • Il n'y a pas de déjeuner gratuit: si l'on part d'un portefeuille dont la valeur est nulle, on ne peut obtenir une probabilité non nulle de gain qu'au prix d'une probabilité non nulle de perte.
  • Il est possible, moyennant une somme initiale, de simuler une option de vente (ou d'achat). Plus précisément en faisant varier selon une stratégie précise la quantité d'actions en portefeuille, on peut faire en sorte que ce portefeuille ait la même valeur que l'option de vente au moment de l'expiration.
  • La stratégie est en fait indépendante des probabilités de hausse et de baisse.
Le simulateur ci-dessous permet de tester ce modèle pour un portefeuille initial nul. Il permet également de simuler la couverture d'une option de vente. Dans ce cas, la valeur du portefeuille sera égale à celle de l'option moins la valeur actualisée de l'option au temps initial.

Paramètres

Probabilité de baisse:
Probabilité de hausse:
Baisse:
Hausse:
Taux d'intérêt:

Salle de marché

Actions à détenir:



Éléments techniques

Valeur d'une option de vente expirant au temps pour le prix d'exercice .

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de l'option des différents scénarii de hausse ou de baisse de l'option.

Formules utilisées

Pour trouver le prix d'un actif dont le prix ne dépend que du prix de l'action, on détermine d'abord la probabilité de risque neutre.

Cette dernière est définie comme étant une probabilité défine sur l'évolution des prix de l'action telle que l'espérance de la valeur d'un portefeuille ne dépende pas de sa composition.

Si on note \(Q_{H}\) et \(Q_{B}\) les nombres tels que:

  • \(Q_{H}+Q_{B}=1\)
  • \((1+H)Q_{H}+(1-B)Q_{B}=1+r\)

alors la probabilité telle que les événements "l'action monte au temps \(N\)" soient indépendants et de probabilité \(Q_{H}\) est l'unique probabilité de risque neutre.

La probabilité de risque neutre permet d'évaluer les produits dérivés de l'action.
Considérons une option qui s'exerce au temps \(N\) et qui donne le droit à un paiement de \(f(P_{N})\) si le prix de l'action est \(P_{N}\). On note \(\begin{pmatrix}\!\!N\!\!\\ \!\!k\!\!\end{pmatrix}\) le nombre de sous-ensembles de cardinal \(k\) d'un ensemble à \(N\) éléments. Alors le prix de l'option au temps 0 est donné par l'espérance de \(f(P_{N})\) pour la probabilité de risque neutre:

\[ (1+r)^{-N}\sum_{k=0}^N \begin{pmatrix}\!\!N\!\!\\ \!\!k\!\!\end{pmatrix} Q_{H}^{k}Q_{B}^{N-k} f((1+H)^{k}(1-B)^{N-k}P_{0}) \]

Dans le cas d'une option européenne d'achat (call en anglais), \(f(P)\) vaut \(P\) si \(P-K\) est supérieur au prix d'exercice \(K\) et \(0\) sinon.