Le modèle de Cox-Rubinstein-Ross est un modèle
pour l'évaluation d'option.
Dans ce modèle, il y a deux actifs: le liquide et une action.
Les hypothèses que l'on fait sont les suivantes:
Au temps initial \(0\), la valeur de l'action est \(P_{0}\)
Entre le temps N et le temps N+1, le liquide en portefeuille est multiplié par \(1+r\).
Entre le temps N et le temps N+1, le prix
de l'action est multiplié par
\(1+H\)
avec une probabilité strictement comprise
entre 0 et 1. Autrement, le prix de l'action est multiplié
par \(1-B\).
Il est possible de acheter et de vendre à découvert, c'est-à-dire
que l'on peut détenir une quantité négative de liquide ou d'action.
Si \(0<1-B<1+r<1+H\), alors
on peut alors montrer que:
Il n'y a pas de déjeuner gratuit: si l'on part d'un portefeuille
dont la valeur est nulle, on ne peut obtenir une probabilité non nulle
de gain qu'au prix d'une probabilité non nulle de perte.
Il est possible, moyennant une somme initiale, de simuler
une option de vente (ou d'achat). Plus précisément en faisant varier
selon une stratégie précise la quantité d'actions en portefeuille,
on peut faire en sorte que ce portefeuille ait la même valeur
que l'option de vente au moment de l'expiration.
La stratégie est en fait indépendante des probabilités
de hausse et de baisse.
Le simulateur ci-dessous permet de tester ce modèle pour un
portefeuille initial nul.
Il permet également de simuler la couverture d'une option de vente. Dans
ce cas, la valeur du portefeuille sera égale à celle de l'option
moins la valeur actualisée de l'option au temps initial.
Paramètres
Probabilité de baisse:
Probabilité de hausse:
Baisse:
Hausse:
Taux d'intérêt:
Salle de marché
Actions à détenir:
Éléments techniques
Valeur d'une option de vente expirant au temps
pour le prix d'exercice
.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de l'option des différents scénarii
de hausse ou de baisse de l'option.
Formules utilisées
Pour trouver le prix d'un actif dont le prix ne dépend que du prix
de l'action, on détermine d'abord la probabilité de risque neutre.
Cette dernière est définie comme étant une probabilité défine sur
l'évolution des prix de l'action telle que l'espérance de la valeur
d'un portefeuille ne dépende pas de sa composition.
Si on note \(Q_{H}\) et \(Q_{B}\) les
nombres tels que:
\(Q_{H}+Q_{B}=1\)
\((1+H)Q_{H}+(1-B)Q_{B}=1+r\)
alors la probabilité telle
que les événements "l'action monte au temps \(N\)" soient
indépendants et de probabilité \(Q_{H}\) est l'unique
probabilité de risque neutre.
La probabilité de risque neutre permet d'évaluer les produits dérivés
de l'action.
Considérons une option qui s'exerce au temps \(N\) et qui donne le droit
à un paiement de \(f(P_{N})\) si le prix de l'action
est \(P_{N}\). On note \(\begin{pmatrix}\!\!N\!\!\\ \!\!k\!\!\end{pmatrix}\) le nombre
de sous-ensembles de cardinal \(k\) d'un ensemble à \(N\)
éléments.
Alors le prix de l'option au temps 0 est donné par l'espérance
de \(f(P_{N})\) pour la probabilité de risque neutre: