\documentclass[french,11pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{enumerate,theorem}
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{MASS S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD10}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Soit $(e_1,e_2)$ la base canonique de $\R^2$. On considère $(e_1^*,e_2^*)$ sa base duale. 
\begin{itemize}
\item Calculer $e_1^*(-4,5)$ et $e_2^*(2,0)$.
\item Soit $f_1=e_1$, $f_2=e_1+e_2$ et $(f_1^*,f_2^*)$ la base duale associée. Calculer $f_1^*(e_1)$, $f_1^*(e_2)$, $f_2^*(e_1)$, $f_2^*(e_2)$.
\item Représenter $(f_1, f_2)$ dans la base orthormale $(e_1,e_2)$ et faire de même pour $(f_1^*,f_2^*)$ dans $(e_1^*,e_2^*)$.
\item Mêmes questions avec $g_1=2e_1, g_2=e_2$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}
On note $<x,y>$ le produit scalaire de $x,y\in\R^2$ (\emph{c.a.d}, $<(x_1,x_2),(y_1,y_2)>=x_1*y_1+x_2*y_2)$.
\begin{itemize}
\item Si $x\in\R^2$, montrer que l'application $h_x:y\rightarrow <x,y>$ est un élément de $(\R^2)^*$.
\item Soit $x=(1,1)$. Calculer $h_x(1,0)$, $h_x(0,1)$ et $h_x(1,1)$.
\item Montrer que si $(e_1,e_2)$ est une base de $\R^2$ alors $(h_{e_1},h_{e_2})$ est une base de $\R^2)^*$.
\item Représenter la transformée par $h$ des bases de l'exercice 1 dans les bases orthonormales.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}
Représenter le bidual  des bases de l'exercice 1 (par exemple $((f_1^*)^*,(f_2^*)^*)$ dans $((e_1^*)^*,(e_2^*)^*)$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f : E\rightarrow F$ une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finies sur le corps $\K$. On note que pour L appartenant a $E^*$, on a $L = 0$ ssi $L(u) = 0$ pour tout $u$ appartenant a $E$. Par la dualité $E =(E^*)^*$, pour u appartenant a $E$, $u = 0$ ssi $l(u)=0$ pour tout $L$ appartenant a $E^*$

(a) Montrer que $(f^*)^* = f$

(b) Montrer que $f$ et $f^*$ ont même rang.

(c) Montrer que $ker(f^*) = \{y\in E^*\mid y(Im(f))=0\}$ et que $ker(f) = \{x\in E\mid Im(f^*)(x)=0\}$.

\end{exo}


\end{document} 
