\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
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\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{MASS S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD4}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Soit $B$ et $B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ et soit $f$ un endomorphisme de $E$. Soit $A$ (resp. $A'$) la matrice de $f$ dans la base $B$ (resp. $B'$).
Soit $P$ la matrice de passage de $B'$ à $B$ (\emph{c.a.d} la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des éléments de $B$ dans la base $B'$).\\
i) Quelle est la relation entre $A$, $A'$ et $P$?\\
ii) Est-ce que la matrice $P.A$ est la matrice $f$ dans certaines bases?\\ 
iii) Qu'en est-il de $A.P$?
\end{exo}

\vspace{1cm}
\hrule
Rappels: Si $f$ est un endomorphisme de $E$ et si il existe $\lambda\in \K$, $x\in E\setminus\{0\}$ tels que $f(x)=\lambda x$ alors $\lambda$ est appelée valeur propre de $f$ et $x$ est un vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre $\lambda$.\\ L'ensemble des vecteurs propres de $f$ associés à une valeur propre $\lambda$ est appelé espace propre de $f$ associé à la valeur propre $\lambda$. On le note $E_{\lambda}$.\\
Les valeurs propres sont exactement les racines du polynôme carctéristique de $f$: $P_f(X)=\det(X Id-f)$.
\hrule
\vspace{1cm}

\begin{exo}
i) Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^2$ défini par $u(x,y)=(-y,x)$. Faire un dessin et reconnaitre $u$ (sans démonstration). Est-ce que $u$ a des vecteurs propres.\\
ii) Même question dans le cas où $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à une droite $D$ passant par $0$.
\end{exo}


\begin{exo}[dimension 2...]
Pour les matrices suivantes, donnez le polynôme caractéristique, les valeurs propres et les sous-espaces propres associés.
$$\left( \begin{array} { c c}5 & 3 \\ -8 &-6 \\ \end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c}4 & 4 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c}1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{array} \right).$$
\end{exo}

\begin{exo}[...dimension 3...]
Meme exercice:
$$\left( \begin{array} { c c c } 0 & \phantom-1 & 2 \\  1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &-1 \\\end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c c } 1 & 0&  0 \\ 1 & 0 & 1\\ -3 & -4 & 4\\\end{array} \right).$$
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $F\subset E$ un sous espace vectoriel, $W$ une base de $F$ complétée en une base $B$ de $E$.
Soit $f$ un endomorphisme de $E$. Donner (et démontrer) une condition nécéssaire et suffisante sur $Mat_{B}(f)$ pour que $F$ soit stable par $f$ 
(\emph{i.e.} $f(F)\subset F$)
\end{exo}


\begin{exo}[*]
Montrer qu'un endomorphisme de $\R^n$ avec $n$ impair a au moins un vecteur propre (non nul).\\
Qu'en est-il pour $\C^n$?
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer qu'un endomorphisme $f$ est injectif si et seulement si il n'a pas de valeur propre nulle.
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer le polynôme caractéristique, les valeurs propres et les espaces propres d'une matrice diagonale.
\end{exo}


\end{document} 
