\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{MASS S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD5}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Si vous n'aviez pas fini...]
Pour les matrices suivantes, donnez le polynôme caractéristique, les valeurs propres et les sous-espaces propres associés.
$$\left( \begin{array} { c c}5 & 3 \\ -8 &-6 \\ \end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c}4 & 4 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c}1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{array} \right).$$
\end{exo}

\begin{exo}[idem...]
Meme exercice:
$$\left( \begin{array} { c c c } 0 & \phantom-1 & 2 \\  1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &-1 \\\end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c c } 1 & 0&  0 \\ 1 & 0 & 1\\ -3 & -4 & 4\\\end{array} \right).$$
\end{exo}

\begin{exo}
Diagonaliser les matrices suivantes:
$$\left(\begin{array}{ c c} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{array}\right); \quad
\left(\begin{array}{ c c c} 1 & 2 &-1\\ 2 & 4&-2\\ 0 &1 &-1 \end{array}\right); \qquad
\left(\begin{array}{ c c c c} -1 & 2 &0&0\\ -3 & 4&0 &0\\ 0&0 &5 &-4\\0&0& 2& -1 \end{array}\right)$$

\end{exo}

\begin{exo}
Montrer qu'un endomorphisme $f$ est injectif si et seulement si il n'a pas de valeur propre nulle.
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer le polynôme caractéristique, les valeurs propres et les espaces propres d'une matrice diagonale.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\begin{array}{r c l}  & &\\ \K^2 &\rightarrow &\K^2\\ (x,y) & \rightarrow & (0,0) \\ \end{array}$. L'application $f$ est-elle un endomorphisme? A-t-elle des valeurs propres? Est-elle diagonalisable?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A=\left(\begin{array}{ c c} 1 & 2\\ 0 & 3 \end{array}\right)$. Est-ce que $A$ est diagonalisable? (presque sans calculs)\\
Mêmes questions avec $A=\left(\begin{array}{ c c c} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$ (un peu plus de calculs).
\end{exo}

\begin{exo}
Trouver une matrice diagonalisable de taille $5*5$, non diagonale, ayant pour valeurs propres $1,2,3,4,5$.
\end{exo}


\begin{exo}[*]
Montrer qu'un endomorphisme de $\R^n$ avec $n$ impair a au moins un vecteur propre (non nul).\\
Qu'en est-il pour $\C^n$?
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Donner les relations d'inclusion entre les sous espaces propres de $A$ et de $A^n$
\end{exo}


\end{document} 
