\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
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\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{MASS S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD7}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{exo}
Soit $A=\left(\begin{array} {c c} 1 & 2\\ 3 & 4\end{array} \right)$. Calculer $A^4$ et $A^{-1}$ grace à Cayley Hamilton.\\
Meme question pour $A=\left(\begin{array} {c c c} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 &0 &1\end{array} \right).$
\end{exo}

\begin{exo}
Donner les polynomes minimaux des matrices suivantes
$$A_1=\left(\begin{array} {c c c} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 &-1 &2\end{array} \right),\qquad A_2=\left(\begin{array} {c c c} 3 & 0 & -3\\ -2 & 1 & 1\\ -1 &-1 &2\end{array} \right)
$$
\end{exo}

\begin{exo}
Donner les sous-espaces propres et caractéristiques des matrices suivantes:
$$\left(\begin{array} {c c c} 1 & 4 & 5\\ 0 & 2 & -1\\ 0 &0 &1\end{array} \right),\qquad
\left(\begin{array} {c c c} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 0 &0 &1\end{array} \right),\qquad
\left(\begin{array} {c c c} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 &0 &1\end{array} \right).
$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A$ une matrice réelle. Montrer que si $A$ est diagonalisable sur $\R$ alors elle est diagonalisable sur $\C$.
\end{exo}



\begin{exo}[*]
Montrer qu'un endomorphisme de $\R^n$ avec $n$ impair a au moins un vecteur propre (non nul).\\
Qu'en est-il pour $\C^n$?
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Donner les relations d'inclusion entre les sous espaces propres de $A$ et de $A^n$
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soient $A\in\mathcal M_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal M_{p,n}(\K)$. On note $C=I_{n}-AB$ et $D=I_{p}-BA$.
\begin{itemize}
\item[1)] Montrer que si $C$ est inversible alors $D$ est inversible (résoudre $DX=0$).
\item[2)] Le cas échéant, exprimer $D^{-1}$ en fonction de $A,B, C^{-1}$.
\item[3)] En déduire que $AB$ et $BA$ ont les memes valeurs propres non-nulles. Examiner le cas de la valeur propre 0 si $n=p$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Soient $p,q\in \N^*$, $A\in \mathcal M_p(\K) , \, B\in \M_{p,q}(\K), \, C\in \M_q(\K)$.
On pose alors $n=p+q$ et $M=\left(\begin{array} {c c } A & B\\ 0& C\\ \end{array}\right).$
Determiner les relations entre les valeurs propres de $A$ et $C$ et les valeurs propres de $M$.
Faire de même pour les sous-espaces propres.
\end{exo}

\end{document} 
