\documentclass[french,11pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{MASS S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD8}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Donner les valeurs propres et espaces propres des endomorphismes suivants du plan $\R^2$:\\
la projection orthogonale sur une droite $D$ notée $p_{D}$; la symétrie axiale; la symétrie centrale; la rotation de centre 0 et d'angle $\theta$ (notée $R_{\theta}$); 
la translation de vecteur $\vec v$; la composé $p_{D}\circ R_{\pi/2}$. On ditinguera plusieurs cas lorsque cela sera nécessaire.
\end{exo}

\begin{exo}
Donner les polynome minimaux de $p_{D}$ et de $p_{D}\circ R_{\pi/2}$. Ces endomorphismes sont-il diagonalisables?
\end{exo}

\begin{exo}[Modélisation]
Un renard est introduit dans un écosystème où il y a $n_0$ lapins au départ.\\ 
Le renard mange 1 lapin par jour.\\
Chaque mois, un couple de lapin a une portée de 6 petit lapins.\\
Déterminer ce qui se passe d'un mois à l'autre par une matrice.\\
Décrire l'évolution du système vers l'infini en fonction de $n_0$.
\end{exo}

\begin{exo}[Modélisation (bis)]
Même question où on remplace le renard par des chasseurs (0 chasseurs le premier mois).\\
On suppose de plus que l'office des forêts, qui veut exterminer les lapins, délivre 1 permis supplémentaire chaque mois, par groupe de $k$ lapins encore existants.\\
Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles l'office des forêts atteint son objectif. 
\end{exo}

\begin{exo}
Diagonaliser ou trigonaliser les matrices suivantes: 
$$\left(\begin{array} {c c c} 1 & -1 & 2\\ 3 & -3 & 6\\ 2 &-2 &4\end{array} \right) \qquad \left(\begin{array} {c c c} 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 2\\ 0 &0 &2\end{array} \right)
\qquad \left(\begin{array} {c c c c} 3 & 2 & 1 &1 \\ 2 & -2 & 1 &1 \\ 0 &0 &-3 & 5\\ 0&0& 2 & 4\end{array} \right)$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A$ une matrice nilpotente (\emph{i.e.} il existe $n\in\N$ tel que $A^n$=0).\\
Montrer que $Id-A$ est inversible. Quels sont ses valeurs propres?\\
Montrer que $A$ est trigonalisable.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ un endomorhisme de $\K^3$ vérifiant $f^2=f+Id$. Quels sont les polynomes minimaux possibles pour $f$.\\
Meme question pour un endomorphisme $g$ de $\K^4$ vérifiant $g^3=2g^2-g$
\end{exo}

\end{document} 
