\documentclass[french,11pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{MASS S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD9}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
$\phantom{1}$
\newline
Diagonaliser ou trigonaliser $A$ dans les cas suivants:
$$A= \left(\begin{array}{c c c} 3 & 2 &-2\\ -1 & 0 & 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right); 
\quad A=\left(\begin{array}{c c c} -1 & 0 &0\\ 2 & -1 & 7\\ 3& 0& -1\end{array}\right);
\quad A=\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 0 &0 &0\\ 2 & 1 & 0&-1\\ -1& 2& 1&3\\ 0&0&0&1\end{array}\right).$$ 
\end{exo}

\begin{exo}
Pour les matrices suivantes, donner le polynome caractéristique et le polynome minimal. 
$$\left(\begin{array}{c c}5 & 3\\ -3&-1 \end{array}\right), \qquad \frac14\left(\begin{array}{c c c}6 & 1 &1\\ 2&5 & 1\\2 &1 & 5 \end{array}\right), \qquad \frac12\left(\begin{array}{c c c}3 & 1 &2\\ 1&3 & -2\\0 &0 & 2 \end{array}\right) $$
Déterminer de plus $A^2$ puis $A^3$ en fonction de $A$ pour les 2 premières matrices.
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des nombres complexes non necessairement distincts. On note $\mu_1, \dots, \mu_k$ ces memes nombres complexes, sans répétition. On note $m_i=\sharp\{j\in[\![1,n]\!]| \mu_i=\lambda_j\}$.
Calculer le polynome caractéristique et le polynome minimal de chacune des matrices suivantes:
$$\left(\begin{array} {c c c} \lambda_1& &(0)\\ & \ddots & \\ (0) & & \lambda_n\end{array}\right)\qquad \left(\begin{array}{c c}\mu_1 & a\\ 0&\mu_1\end{array}\right)\qquad \left(\begin{array}{c c}\mu_1 & a\\ 0&\mu_2\end{array}\right) $$
$$A_i=\left(\begin{array} {c c c c} \mu_i& 1 & &(0)\\ & \ddots &\ddots & \\ & & \ddots&1\\(0) & & &\mu_i\end{array}\right)\in \mathcal M_{m_i}(\C)\qquad \left(\begin{array} {c c c} A_1& &(0)\\ & \ddots & \\ (0) & & A_k\end{array}\right)$$
\end{exo}


\begin{exo} Soit $\mathfrak{sl}_{2}(\K)$ l'ensemble des matrice 2*2 de trace nulle. 
Montrer que tout élément de $\mathfrak{sl}_{2}(\K)$ est soit nilpotent soit diagonalisable.
\end{exo}



\begin{exo}
Trigonaliser cette matrice et calculer sa puissance $n$-ième $\left(\begin{array}{c c}2 &1 \\-1 & 0\end{array}\right) $
\end{exo}

\begin{exo}
$\phantom{1}$
\newline
On considère la matrice $A= \left(\begin{array}{c c c} 3 & 2 &-2\\ -1 & 0 & 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$.
On donne deux méthodes pour calculer $A^n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le polynome minimal de $A$. Montrer qu'on peut écrire $A^n$ sous la forme $u_nA+v_n Id$, puis calculer les coefficient $u_n$ et $v_n$ grace à l'exercice précédent
\item Trigonaliser $A$
\end{enumerate}
\end{exo}



\end{document} 
