\documentclass[french,12pt]{article}


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\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
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\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}


\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}


\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Math\'ematiques S1}
\lhead{IMP}
\rhead{2005/2006}
\pagestyle{fancy}


\title{Applications}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}



\begin{exo}
Soit $A=\{0,1,2,3\}$ et $B=\{0,4,1,7\}$. On d\'efinit des applications $f$ et $g$ de $A$ dans $B$ par:$$ f(0)=0;\; f(1)=7;\; f(3)=1;\; f(2)=4 $$ $$g(0)=1;\; g(3)=7;\; g(1)=1;\; g(2)=0$$
\begin{enumerate}
\item{\em} Que peut-on dire de l'application $f$?
\item{\em} Que peut-on dire de l'application $g$?
\end{enumerate}
\end{exo}




\begin{exo}
Dans chacun des cas suivants, l'application f est-elle injective, bijective, surjective?
\begin{align*}
f : \R &\rightarrow \R& f : \R^{+} &\rightarrow \R^{+}& f : \R^{+} &\rightarrow \R& f : \R &\rightarrow \R^{+}& \\
x &\mapsto x^{2}& x &\mapsto x^{2}& x &\mapsto x^{2}& x &\mapsto x^{2}& 
\end{align*}
\begin{align*}
 f : \N &\rightarrow \N& f : \Q^{*} &\rightarrow \Q^{*}& g : \R^{*} &\rightarrow \R& \\
x &\mapsto x^{2}&  x&\mapsto \frac{1}{x}&  x&\mapsto \frac{1}{x}&
\end{align*}
\begin{align*}
f : \N &\rightarrow \N& f : \Z &\rightarrow \Z& f : \N &\rightarrow \N& f : \N &\rightarrow \N& \\
n &\mapsto n+1& n &\mapsto n+1& n &\mapsto 2n& n &\mapsto 
\begin{cases}
\frac{n}{2}&\text{si n pair}\\
\frac{n+1}{2}&\text{si n impair}
\end{cases} & 
\end{align*}

\end{exo}




\begin{exo}
On consid\'ere la fonction partie enti\`ere E, la fonction identit\'e $id$, et la fonction carr\'e  $ f(x)=x^{2} $, d\'efinies sur $\R$.\\
D\'eterminer pour chacune de ces fonctions:
\begin{enumerate}
\item{\em les image de :}$$ \R\; ,\; A=[0,3]\; ,\; B=]3,4[\; ,\; ]-2,1[ $$
\item{\em les images r\'eciproques de :}$$ \R \;, \;\{\frac{1}{2}\}\; ,\; \{5\} \;,\; ]2,9] $$
\item{\em D\'eterminer :} $$ E({A}\cap{B})\; et \;{E(A)}\cap{E(B)} $$\\

\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On munit le plan cart\'esien $P$ de son rep\`ere orthonorm\'e canonique d'origine (0,0).\\
Soit l'application : $ f : P\rightarrow P\; \mid \;(x,y)\mapsto \begin{cases} x'=2x-y\\
y'=3x+2y \end{cases}$ \\
Montrer que f est surjective et trouver son application r\'eciproque.\\
\\

\end{exo}

\begin{exo}
Soient $D$ et $A$ deux ensembles, et $f$ une application de $D$ vers $A$.
\begin{enumerate}
\item{\em}Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $\forall a\in A$, $Card(f^{-1}(\{a\}))\geq 1$
\item{\em}Montrer que $f$ est injective si et seulement si $\forall a\in A$, $Card(f^{-1}(\{a\}))\leq 1$
\item{\em} A quelle condition $f$ est-elle bijective?
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Application caract\'eristique]
On d\'efinit, pour $E$ ensemble, et $A$ partie de $E$, l'application caract\'eristique de $A$ par:
\begin{tabbing}
\qquad \qquad \qquad $\chi_{A}\;:\;$\=$E$ \=  $\longrightarrow $ \= $\{0,1\}$\\
\> $x$ \> $\longmapsto$ \>{$\begin{cases} 1\qquad si\;x\in A\\
0\qquad sinon \end{cases}$}
\end{tabbing}
Montrer les propri\'et\'es suivantes:
\begin{enumerate}
\item{\em} L'application $\mathcal{P}(E)\longrightarrow \mathcal{F}(E,\{0,1\})$ d\'efinie par $A\longmapsto \chi_{A}$ est bijective.
\item{\em} $A\subset B \Longrightarrow \chi_{A}\leq \chi_{B}$
\item{\em} $\chi_{A\cup B}=\chi_{A}+\chi_{B}-\chi_{A\cap B}$
\item{\em} $\chi_{\bar{A}}=1-\chi_{A}$
\item{\em} $\chi_{A\cap B}=\chi_{A}\chi_{B}$
\item{\em} $\chi_{A\setminus B}=\chi_{A}(1-\chi_{B})$
\item{\em} $\chi_{A\Delta B}=\chi_{A}+\chi_{B}-2\chi_{A}\chi_{B}={(\chi_{A}-\chi_{B})}^{2}=|\chi_{A}-\chi_{B}|$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble et $f$ une application injective de $E$ dans $E$, c'est \`a dire une application v\'erifiant:
$$\forall x_{1}, x_{2}\in E,\ f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longleftrightarrow x_{1} = x_{2}.$$
On d\'efinit par r\'ecurrence sur $n\geq 1$ des applications $f^{n}$ par
\begin{align*}
f^{1} &= f & f^{n} = f \circ f^{n-1}
\end{align*}
o\`u $f\circ g$ d\'esigne la fonction compos\'e de $g$ par $f$ d\'efinie par
$$f\circ g (x) = f \bigl( g (x) \bigr)$$
pour tout $x\in E$ et toute application $g:E\longrightarrow E$.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que pour tout $n\geq 1$ l'application $f^{n}$ est injective.}
\item{\em Montrer que si f surjective, on a de m\^eme pour tout $n\geq 1$ l'application $f^{n}$ est surjective.}\\
\\
\\

\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Soient E et F des ensembles. Soient $f : E\rightarrow F$ une injection, et $g : E\rightarrow F$ une surjection.\\
Soient X et X' des parties de E. Soit Y une partie de F.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que :}$f({X}\cap{X'})={f(X)}\cap{f(X')}$ et que : $f^{-1}\bigl( f(X)\bigr) = X $
\item{\em Enoncer une r\'eciproque \`a chacune de ces assertions}
\item{\em Montrer que :}$f\bigl( f^{-1}(Y)\bigr) = Y ${\em, et \'enoncer une r\'eciproque.}\\
\\
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
Soient E, F et G trois ensembles.
Soient deux applications $f : E\rightarrow F$ et $g : F\rightarrow G$.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ surjective}\Rightarrow g\text{ surjective}$
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ injective}\Rightarrow f\text{ injective}$
\end{enumerate}
\end{exo}






\end{document}