\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Math\'ematiques S1}
\lhead{IMP}
\rhead{2005/2006}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{Logique}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{exo}\
Donner la n\'egation des assertions suivantes:\\

$\begin{array}{c}
P\wedge \neg Q\ , \ P\vee (Q\wedge R)\ , \ P\Rightarrow \neg Q\ , \ P\Rightarrow (Q\Rightarrow R)\ , \ P\Leftrightarrow Q.
\end{array}$
\end{exo}

\begin{exo}
Soient A et B deux assertions.\\
Montrer que les assertions $(A\Rightarrow B)\;$ ; $\;(\neg A \Rightarrow \neg B)\;$ et $\;\neg A \vee B$ sont équivalentes?
\end{exo}

\begin{exo}
Soient A, B et C trois assertions. Montrer que les assertions suivantes sont des tautologies.
\begin{enumerate}
\item{\em} $(A\wedge \neg A)\Rightarrow B$
\item{\em} $(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (\neg A \Leftrightarrow \neg B)$
\item{\em} $(A\Leftrightarrow B)\Rightarrow ((A\Rightarrow C)\Leftrightarrow (B\Rightarrow C))$
\item{\em} $(A\Leftrightarrow B)\Rightarrow ((A\vee C)\Leftrightarrow (B\vee C))$
\item{\em} $(A\Leftrightarrow B)\Rightarrow ((A\wedge C)\Leftrightarrow (B\wedge C))$
\end{enumerate}  
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item{\em} La condition $$(m\textnormal{ et }n\textnormal{ sont deux entiers pairs}) $$ est-elle :
\begin{itemize}
\item une condition n\'ecessaire
\item une condition suffisante
\item une condition n\'ecessaire et suffisante,
\end{itemize}
\begin{flushleft}
pour que l'on ait
\end{flushleft}
$$(m+n\textnormal{ est un entier pair})$$
\item{\em} M\^eme question avec les assertions: $$(x+\sqrt{2x}=4)$$ et $$x=2$$ pour $x$ r\'eel positif ou nul.
\item{\em} M\^eme question avec les assertions: $$(x<y)$$ et $$ max\{x,\dfrac{x+2y}{3}\}>x $$ pour $x$ et $y$ r\'eels positifs ou nuls.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Caracteriser les suites non convergentes à l'aide de quantificateurs.
\newline
\emph{Rappel:} Une suite réelle $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge si et seulement si 
\newline $\forall \epsilon\ > 0,\; \exists n_0\in\mathbb{N},\; \forall n \geq n_0 \mid n-n_0\mid < \epsilon$.
\end{exo}

\begin{exo}
N\'egation des expressions\\
Ici, $f$ et $f_{n},n\in \mathbb{N}$ d\'esignent des applications de $[0,1]\subset \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Nier les assertions suivantes:
\begin{enumerate} 
\item{\em} $\forall \epsilon > 0,\exists \alpha >0, \forall x \in 
[0,1],\forall y \in  [0,1], |x-y|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.$
\item{\em} $\forall \epsilon > 0,\forall x \in 
[0,1],\exists \alpha >0, \forall y \in  [0,1], |x-y|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon.$
\item{\em} $ \forall \epsilon >0, \forall x \in [0,1], \exists n_{0}\in \mathbb{N}, n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon $
\item{\em} $ \forall \epsilon >0,  \exists n_{0}\in \mathbb{N},\forall x \in [0,1], n\geq n_{0}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon $
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}
%On note $\Delta$ le connecteur logique appel\'e "ou exclusif", et dont la table de v\'erit\'e est:
%\begin{displaymath}
%\begin{array}{| c | l | p{1.5cm} |}\hline
%\textbf{P} & \textbf{Q} & \textbf{P} $\Delta$\textbf{Q}\\ \hline
%V & V & F \\
% \hline
%V & F & V\\
% \hline
%F & V & V\\
% \hline
% F & F & F\\
%  \hline
%  \end{array}
%  \end{displaymath}
% \begin{enumerate}
% \item{\em}V\'erifier que le connecteur $\Delta$ est commutatif.
% \item{\em}Exprimer P$\Delta$Q en utilisant les connecteurs logiques$\wedge$, $\vee$ et $\neg$.
% \item{\em}Par des tables de v\'erit\'e, donner les relations existant entre:
% \begin{enumerate}
%\item $P\Delta (Q\wedge R)$ et $(P\Delta Q)\wedge (P\Delta R)$.
%\item $P\Delta (Q\vee R)$ et $(P\Delta R)\vee (P\Delta R)$
% \end{enumerate}
% \end{enumerate}
%\end{exo}

%\begin{exo}
%V\'erifier la commutativit\'e de l'\'equivalence et la non-commutativit\'e de l'implication.
%\end{exo}

%\begin{exo}
%Une tautologie est une assertion toujours vraie. D\'emontrer qu'une assertion est une tautologie, c'est montrer qu'elle est vraie, ind\'ependamment de toute hypoth\`ese.\\
%Soit $\alpha$ l'assertion: $$ (a\Rightarrow b)\Leftrightarrow (\neg a \vee b) $$
%Soit $\beta$ l'assertion: $$ (\begin{cases}(a\Rightarrow b)\\
% (a\Rightarrow c)\end{cases}) \Leftrightarrow (a\Rightarrow (b\wedge c)) $$
%\begin{enumerate}
%\item{\em} Montrer en utilisant des tables de v\'erit\'e que $\alpha$ et $\beta$ sont des tautologies.
%\item{\em} Retrouver ce r\'esultat \`a l'aide des r\`egles \'el\'ementaires de logique.
%\item{\em} L'assertion $\gamma$: $$ (\begin{cases} c\Rightarrow a \\
%c\Rightarrow b \end{cases})\Leftrightarrow ((a\vee b)\Rightarrow c) $$ est elle une tautologie?
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que l'assertion suivante est fausse:
$$\textnormal{Pour tout }x\in \mathbb{Z},\;x\textnormal{ est multiple de 3 ou }x^{3} \textnormal{ est multiple de 3}$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $x\in \mathbb{Z}$. D\'emontrer la proposition:
$$x\textnormal{ est impair}\Rightarrow x(x+2)\textnormal{ est impair}$$
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que l'assertion:
$$ \forall x \in \mathbb{R},x\leq 2 \Rightarrow x^{2}\leq 4 $$
est fausse
\end{exo}


\end{document}
