\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD10: De la décomposition des fractions rationnelles}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{exo}[Je parie que la moitié d'entre vous ne se rappelle plus comment faire]
Trouver les racines rationnelles des polynomes suivants $11X^3+10X^2+10X-1$, $3X^3+5X^2-11X+3$ et $2X^3+5X^2+4X+1$
\end{exo}

\begin{exo}[Le cas simple: division suivant les puissances croissantes] \label{sim}
Décomposer en éléments simples $\frac{X^4+5X^3+3X-2}{(X-1)^4}$ grace au changement de variables $Y=X-1$.
\end{exo}

\begin{exo}[Le cas composé: penser à faire des Bézout] \label{bez}
Trouver des polynomes $U$ et $V$ tels que $U(X^2+X+1)+V(X^2+1)=1$.\\
En déduire la décomposition en éléments simples de $\frac{X}{(X^2+X+1)(X^2+1)}$ 
\end{exo}

\begin{exo}[Faire les deux à la suite]
Combiner les méthodes des exercices \ref{sim} et \ref{bez} pour décomposer $\frac{2X+1}{(X^2-1)^3}$ et $\frac {X}{(X-1)^3(X-2)}.$
\end{exo}

\begin{exo}[Le cas simple de degré 2: Divisions euclidiennes successives] \label{plus}
Effectuer les divisions euclidiennes de $X^3+X+3$ par $X^2+X+1$ puis du quotient par $X^2+X+1$.\\
En déduire la décompositon en éléments simples de $\frac{X^3+X+3}{(X^2+X+1)^2}$ et $ \frac{X^3+X+3}{(X^2+X+1)^10}$
\end{exo}

\begin{exo}[Faites les deux à la suite, et là vous saurez tout faire]
Combiner les méthodes des exercices \ref{sim}, \ref{bez} et \ref{plus} pour calculer la décomposition en fractions rationnelles de $\frac{4X+1}{(X-1)^3(X^2+1)^2}$ et $\frac{3X^2+2}{(X+1)^2(X^2+2X+5)^2}$
\end{exo}
\end{document}