\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD11: De la convergence des suites réelles}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[A la limite]
Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites réelles convergeant vers les limites respectives $l$ et $l'$.
\item[(i)] Montrer que si $l\lnq l'$ alors $u_n\lnq v_n$ à partir d'un certain rang $n_0$
\item[(ii)] Montrer que le résultat ne tient plus si on remplace les $\lnq$ par des $\leqslant$.
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes de limites]
Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites réelles, $a$ et $b$ deux réels.
Montrer que si $u_n\leqslant a$; $v_n\leqslant b$ et \\$u_n+v_n \longrightarrow_{n\rightarrow\infty}a+b$. Alors $u_n$ et $v_n$ convergent respectivement vers $a$ et $b$.
\end{exo}

\begin{exo}[Les gendarmes ne sont pas toujours inutiles]
Calculer la limite des suites suivantes
$$a) \frac{3^n-(-2)^n}{3^n+(-2)^n} \qquad b) \frac{n- (-1)^n}{n+(-1)^n} \qquad c)\sum_{k=1}^n \frac n {n^2+k}$$
\end{exo}

\begin{exo}[Cauchy]
Montrer que $S_n=\sum_{k=1}^n 1/n$ n'est pas une suite de Cauchy\\
\emph{\footnotesize{(Indication: Calculer $S_p-S_q$ pour $q=2p$.)}}\\
En déduire que pour tout $M\in \R$, il existe $N\in \N$ tel que $\sum_{k=1}^{N} 1/n\geqslant M$.
\end{exo}

\begin{exo}[Moyenne arithmético-géométrique] 
\item[(i)] Montrer que pour tous reels $a$ et $b$, on a $2\sqrt{ab}\leqslant a+b$.
\item[(ii)] On considère les suites réelles définies ainsi en fonction de $u_0$ et $v_0$:
$$u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\qquad v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}.$$
Montrer que pour tout $n\in \N$, $u_n\leqslant v_n;\; u_n\leqslant u_{n+1};\; v_{n+1}\leqslant v_n$.
\item[(iii)] En déduire que $u_n$ et $v_n$ convergent.
\item[(iv)] Montrer qu'elles convergent vers la meme limite.
\end{exo}

\begin{exo}[Suite extraite]
Montrer que si $u_n$ est une suite réelle croissante telle que la suite extraite $u_{2n}$ converge vers $l\in \R$, alors $u_n$ converge vers $l$.
\end{exo}

\begin{exo}[Suites récurrentes]
\item[(i)]Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+1$. Montrer que $u_n$ converge vers $+\infty$.\\
\item[(ii)]Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}$. Montrer que $u_n$ converge vers $1/2$.\\ 
\end{exo}
\end{document}