\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD3:Relations/Recurrence/Groupes/Equations Complexes}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{exo}
Soit $E=\{-2,-1,0,1,2\}$ et soit $F=E\times E$. Soit $\mathcal R$ la relation sur $F$ définie par 
$$(x,y)\mathcal R (u,v)\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2=(u^2-v^2)^2.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence sur $F$.
\item Determiner la classe d'équivalence de $(0,0)$
\item Combien y a-t'il de classes d'équivalences dans $F$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par récurrence que $\sum_{k=0}^n (3k+1)= \frac{1} {2} (3n^2+5n+2)$ quelque soit $n\in \N$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer par récurrence que l'entier $2^{3^n}-2$ est divisible par $3$ quelque soit $n\in \N$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $N\in\N^*$. On définit $\Sig_N$ comme l'ensemble des bijections de $\{1,\dots,N\}$ dans $\{1,\dots,N\}$. On définit la loi $\circ$ sur $\Sig_N$ par $\sigma \circ \tau(x)=\sigma(\tau(x))$. C'est la composée des deux bijections. Pour visualiser un élément $\sigma\in\Sig_n$ on le notera $\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & \dots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma (n)\\ \end{array}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array}\right)$.
\item Montrer que $(\Sig_n,\circ)$ est un groupe.
\item Montrer que $\circ$ n'est pas commutative. (On pourra se restreindre au cas $N=3)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $-12+5i$
\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
$$(1-i)z^2-(3-5i) z+ (6-4i)=0$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $15-8i$
\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
$$z^2+(2-3i) z- (5+i)=0$$
\end{enumerate}
\end{exo}


\end{document}