\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD4:Relations (Re)/ racines de l'unité/ Arithmétiques}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Le retour de la vengeance des relations II]
Dire si $\mathcal R$ est une relation d'équivalence sur $\Z$. Le cas échéant, déterminer les classes d'équivalences.
\begin{itemize}
\item $x \R y \Leftrightarrow x-y$ est un multiple de 3.
\item $x\R y \Leftrightarrow xy$ est un multiple de 3.
\item $x \R y \Leftrightarrow x+y$ est un multiple de 3.
\item $x \R y \Leftrightarrow x+y$ est un multiple de 2.
\end{itemize} 
\end{exo}
\begin{exo}[Groupe des racines de l'unité]
Soit $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité dans $\C$. Montrer que $\mathbb{U}_n$ est un groupe. Trouver un isomorphisme avec un groupe plus connu.
\end{exo}
\begin{exo}[Trouvez l'astuce(s)]
Déterminer les racines dans $\C$ du polynome $P(X)=X^6+X^4+X^2+1$.
\end{exo}

\begin{exo}[$\square$]
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux. Supposons de plus que $ab$ soit un carré (\emph{i.e}: $\exists x \in \N$ tel que $ab=x^2$.)
\item Montrer que $a$ et $b$ sont des carrés.
\item Montrer que l'hypothèse $a\wedge b=1$ est necessaire.
\end{exo}
\begin{exo}[Un petit Bézout]
Pour les couples suivants, calculer le pgcd et écrire une relation de Bezout.
$$(48, 36) \qquad (12,5) \qquad (10,15) \qquad (42, 98) \qquad (20, 27)$$
\end{exo}
\begin{exo}[Le résultat qui a fait mourir un pythagoricien (c'est sérieux)]
Montrer que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
\end{exo}

\end{document}