\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\Sig}{\mathfrak{S}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD6: Nombres premiers et Bézout (nours)}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Les premiers seront les derniers]
Donner la liste des nombres premiers inférieurs à 30. On pourra utiliser la méthode du crible d'\'Eratostène.
\end{exo} 

\begin{exo}[Les premiers seront les premiers]
Décomposer les nombres suivants en facteurs premiers $29, \, 43, \, 36, \,98,\, 81, \,132, \,194, \,297, \,1000, \,7!$  
\end{exo}

\begin{exo}[Des Bézout partout...]
Pour les couples suivants, calculer le pgcd,  le ppcm et écrire une relation de Bézout.
$$(48, 36) \qquad (12,5) \qquad (10,15) \qquad (42, 98) \qquad (20, 27)\qquad (8,13)$$
\end{exo}

\begin{exo}[...sur le nez dans le cou]
Même exercice avec les couples suivants ($p$ est un nombre premier, et $n\in \N$). 
$$(3n+1, 2n+1) \qquad (2,p) \qquad (3,p) \qquad (6(n+1),2n+1) $$
\end{exo}

\begin{exo}[$\square$]
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux. Supposons de plus que $ab$ soit un carré (\emph{i.e}: $\exists x \in \N$ tel que $ab=x^2$.)
\item Montrer que $a$ et $b$ sont des carrés.
\item Montrer que l'hypothèse $a\wedge b=1$ est necessaire.
\end{exo}

\begin{exo}[Rugbézout]
Dans un jeu de ballon ovale, on supposera qu'une équipe peut marquer 3 ou 5 points à chaque fois. 
\begin{itemize}
\item[i)]Montrer que le score d'une équipe peut atteindre 8, 9 et 10.
\item[ii)] En déduire que tous les scores supérieurs à 8 sont accessibles.
\item[iii)] On suppose maintenant que l'on peut marquer $m$ ou $n$ points à chaque fois ($n,m\in \N$ et $pgdc(m,n)=1$). Montrer qu'il existe $k\in \N$ tel que les scores $k,k+1,\dots k+n$ sont accessibles.
\item[iv)] En déduire que tous les scores supérieurs à $k$ sont accessibles.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[2006 est rond]
Trouver 2006 nombres entiers consécutifs non premiers
\end{exo}

\begin{exo}[Ben oui, mais pourquoi?]
Si un nombre entier a exactement 3 diviseurs, alors c'est le carré d'un nombre premier.
\end{exo}

\begin{exo}[Je vous donne la réponse dans le titre parce que c'est dur: (3,10) et (35,42)] 
Résoudre le système suivant pour $(x,y)\in \N$:
$$\left\{ \begin{array} {c} ppcm(x,y)=30 pgcd (x,y)\\ y-x=7\\  \end{array}\right.$$
\end{exo}

\begin{exo}[Le résultat qui a fait mourir un pythagoricien (c'est sérieux)]
Montrer que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
\end{exo}

\begin{exo}[Mersenne erre]
Soit $a\in\N^*$ et $r\in\N$, $r\geqslant 2$. Montrer que si le nombre $a^r-1$ est premier, alors $a=2$ et $r$ est premier. 
\end{exo}
\end{document}