\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD7: Suite du TD6}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[division euclidienne]
Soient $a\in \Z$ et $b\in \N^*$. On note $q$ le quotient de la division euclidienne de $a-1$ par $b$. Soit $n\in \N^*$, Déterminer le quotient de la division euclidienne de $(a b^n-1)$ par $b^{n+1}$.
\end{exo}

\begin{exo}[de 2 façons différentes]
Montrer que pour tout $n\in \N$, $6|5n^3+n$.
\end{exo}

\begin{exo}[un peu de classiques]
Determiner le pgcd et une relation de Bézout entre couples suivants:
$$a)(33,24)\qquad b)(37,27) \qquad c)(270,105)$$
\end{exo}

\begin{exo}[nombres premiers entre eux]
Soient $a$ et $b$ premiers entre eux. Montrer que $pgcd(a,a+b)=pgcd(b, a+b)=1$. Puis $pgcd(a+b, ab)=1$.
\end{exo}

\begin{exo}[systèmes avec pgcd]
Résoudre dans $\N^2$ les systèmes:
$$a)\left\{\begin{array}{l} pgcd (x,y)=5\\ppcm(x,y)=60\end{array}\right. \qquad b)\left\{\begin{array}{l} x+y=100\\pgcd(x,y)=10\end{array}\right.$$
\end{exo}

\begin{exo}[Pythagore]
Soient $a,b,c$ trois nombres entiers tels que $a^2+b^2=c^2$.
Montrer que $abc$ est divisible par $3, 4$ et $5$.
\end{exo}

\begin{exo}[grands pgcd]
Montrer que pour tout $n\in \N^*$, on a: 
$$a) pgcd((n^2+n),(2n+1))=1\qquad b)pgcd(3n^2+2n, n+1)=1$$
\end{exo}

\begin{exo}[où reviennent les carrés]
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $a^2|b^2$, montrer que $a|b$.
\end{exo}

\begin{exo}[facile]
Soit $p$ un nombre premier et $\alpha\in \N^*$. Determiner les diviseurs positifs de $p^\alpha$.
\end{exo}
\end{document}