\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD9: Suite du TD8}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Dérivons]
Montrer que $a\in \K$ est une racine double d'un polynome $P$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=0$. Généraliser ce résultat pour les racines $n$-ièmes
\end{exo}

\begin{exo}[racines doubles...]
Montrer que le polynome $P(X)=2X^3-3X^2+1$ admet une racine double. En déduire la décomposition en produit de polynomes irréductibles dans $\R[X]$\\
Meme question pour $P(X)=X^4+2X^2-8X+5$
\end{exo}

\begin{exo}[...et triples]
$a$ et $b$ étant des nombres réels, déterminer tous les polynomes de $\R[X]$ de la forme $P(X)=3X^5-10X^3+ax+b$ ayant un zéro d'ordre de multiplicité égal à $3$.
\end{exo}

\begin{exo}[fractions rationnelles, le cas simple]
Décomposer en éléments simples $\frac{X^3+2X-5}{X-1}$ et $\frac{X^4+5X^3+3X-2}{(X-1)^4}$
\end{exo}

\begin{exo}[Le cas un peu moins simple]
Décomposer en éléments simples sur $\R$ les fractions rationnelles $\frac{X^2+3X+5}{X^2+X-2}$, $\frac{X^4+1}{X^2+3X+2}$, $\frac{X^2}{(X-1)(X-2)(X-3)}$.
\end{exo}

\begin{exo}[Un cas un peu plus complexe]
Décomposer en éléments simples sur $\C$ puis sur $\R$, la fraction rationnelle $\frac{1}{X^3-1}$
\end{exo}

\begin{exo}[Et puisqu'on aime les Bézouts]
Trouver des polynomes $U$ et $V$ tels que $U(X^2+X+1)+V(X^2+1)=1$.\\
En déduire la décomposition en fraction rationnelle de $\frac{1}{(X^2+X+1)(X^2+1)}$ 
\end{exo}

\begin{exo}[pgcd]
Soient $n,p\in \N^*$. Montrer que $pgcd(X^n-1,X^p-1)=X^{pgcd(n,p)}-1$
\end{exo}
\end{document}