\documentclass[french,11pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{enumerate,theorem}
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Math\'ematiques S1}
\lhead{Alg\`ebre-Analyse}
\rhead{2007/2008}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD 11 : Suites}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Vrai-Faux]
Les assertions suivantes sont-elles vraies? Si oui, le prouver, si non, donner un contre-exemple.
\begin{enumerate}
\item Une suite positive qui converge vers $0$ est d\'ecroissaante \`a partir d'un certain rang.
\item Si la suite $(|x_n|)$ converge vers $l$, alors $(x_n)$ converge vers $l$ ou vers $-l$.
\item Si la suite $(x_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(x_{n^2})$ converge vers $l$.
\item La relation $(x_n) \, \mathcal{R} \, (y_n) \Leftrightarrow \underset{n \to +\infty}{lim}(x_n-y_n)=0$ est une relation d'\'equivalence.
\item Le produit d'une suite qui converge vers $0$ et d'une suite quelconque converge vers $0$.
\item Toute suite encadr\'ee par deux suites convergentes est convergente.
\item Si $\underset{n \to +\infty}{lim} x_n=1$, alors $\underset{n \to +\infty}{lim} (x_n)^n=1$.
\item De toute suite d'\'el\'ements de $[a,b]$ on peut extraire une suite convergeant vers un \'el\'ement de $[a,b]$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Etudier la convergence des suites suivantes:
$$\sqrt{n^2 + n + 1}-\sqrt n, \quad \dfrac{n\sin (n)}{n^2 + 1}, \quad \dfrac1n  + (-1)^n,
\quad n \sum\limits_{k = 1}^{2n + 1}\dfrac 1{n^2 + k}, \quad
\dfrac 1n \sum\limits_{k = 0}^{n-1}\cos (\dfrac1{\sqrt{n + k}}).$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $u_0 \in [0,1]$. On définit une suite $(u_n)$ par r\'ecurrence par la formule
$$
u_{n+1}=u_n(1-u_n) \quad \forall \; n \geq 0.
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
\item Montrer que $u_n \geq 0$ pour tout $n \in \N$.
\item En d\'eduire que $(u_n)$ converge et que sa limite est $0$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $a>0$ et $b>0$. On définit deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ par r\'ecurrence par la formule
$$
\left\{
\begin{aligned}
&x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}\\
&y_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}
\end{aligned} \right.
$$
pour tout $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \geq 1$, $x_n \geq y_n$.
\item En d\'eduire qu'\`a partir du rang $1$,  $(x_n)$ est d\'ecroissante et $(y_n)$ est croissante.
\item En d\'eduire que $(x_n)$ et $(y_n)$ convergent.
\item Montrer qu'elles ont la m\^eme limite.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $(u_n)$ une suite r\'eelle. On suppose que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la m\^eme limite $l$. Montrer que $(u_n)$ converge vers $l$.

\end{exo}

\begin{exo}
Soit $$u_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont adjacentes.
\item En d\'eduire que $(u_n)$ converge.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer qu'une suite convergente de nombres entiers relatifs est stationnaire.
\end{exo}

\begin{exo}[Th\'eor\`eme de C\'esaro]
Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $l$. Montrer que la suite $\left( \frac{u_1+ \dots + u_n}{n} \right)$ converge vers $l$.
\end{exo}

\end{document}