\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage [applemac] {inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathématiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\Sig}{\mathfrak{S}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algébre-Analyse}
\rhead{2007/2008}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD4:Groupe/Anneaux/$\C$}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

%\begin{exo}[Le retour de la vengeance des relations II]
%Dire si $\mathcal R$ est une relation d'équivalence sur $\Z$. Le cas échéant, déterminer les classes d'équivalences.
%\begin{itemize}
%\item $x \R y \Leftrightarrow x-y$ est un multiple de 3.
%\item $x\R y \Leftrightarrow xy$ est un multiple de 3.
%\item $x \R y \Leftrightarrow x+y$ est un multiple de 3.
%\item $x \R y \Leftrightarrow x+y$ est un multiple de 2.
%\end{itemize} 
%\end{exo}
\begin{exo}Soit $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité dans $\C$. Montrer que $\mathbb{U}_n$, muni de la multiplication des nombres complexes, est un groupe.
\end{exo}
\begin{exo}
Soit $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$.
Calculer les sommes suivantes
\begin{enumerate} 
\item $\sum_{k=0}^{n-1} w^k$,
\item $\sum_{k=0}^{n-1} (1+\omega^k)^n$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer une racine carrée des nombres complexes $i$ et $-5+12i$.
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$  l'équation complexe $$2iz^2-(6+6i)z+5=0.$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Ecrire les tables d'addition et de multiplication de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.
\item Donner les éléments inversibles.
\item $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ est-il un corps ? un anneau intègre ? 
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
Soit $A$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. On munit A de l'addition et du produit usuels.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A$ est un anneau. Est-il intègre ?
\item Donner les éléments inversibles de $A$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Déterminer les racines dans $\C$ du polynôme $P(X)=X^6+X^4+X^2+1$.
\end{exo}
\begin{exo}
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a $$\sum_{k=1}^n( 3k^2+3k+1)=n^3.$$
\end{exo}



\end{document}