\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyhdr} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathématiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\Sig}{\mathfrak{S}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2007/2008}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD 6 : Arithmétique}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Décomposer les nombres suivants en facteurs premiers :\newline
 $29, \, 43, \, 36, \,98,\, 81, \,132, \,194, \,297, \,1000, \,7!$.  
\end{exo}
\begin{exo}
Donner le nombre de diviseurs de $10!$.
\end{exo}
\begin{exo}
Pour les couples suivants, calculer le pgcd,  le ppcm et écrire une relation de Bézout:
$$(48, 36) \qquad (12,5) \qquad (10,15) \qquad (42, 98) \qquad (20, 27)\qquad (8,13).$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n$ un nombre entier. Montrer que $\sqrt{n}$ est rationnel si et seulement si $n$ est un carré parfait (il existe un nombre entier $m$ tel que $n=m^2$). 
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $a,b,c$ trois nombres entiers relatifs. 
\begin{enumerate}
\item
Montrer que l'équation $ax+by=c$ admet des solutions dans $\Z$ si et seulement si $pgcd(a,b)$ divise $c$.
\item
Résoudre dans $\Z^2$ les équations suivantes : \begin{itemize}
\item[a)]
$162x+207y=27$,
\item[b)]
$192x+247y=15$,
\item[c)]
$198x+216y=36$,
\item[d)]
$323x-391y=612$ .
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Pour les couples suivants, calculer le pgcd,  le ppcm et écrire une relation de Bézout ($p$ est un nombre premier, et $n\in \N$). 
$$(3n+1, 2n+1) \qquad (2,p) \qquad (6(n+1),2n+1) \qquad (3,p).$$
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux. Supposons de plus que $ab$ soit un carré parfait.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $a$ et $b$ sont des carrés parfaits.
\item Montrer que l'hypothèse $a\wedge b=1$ est necessaire.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Trouver 2007 nombres entiers consécutifs non premiers.
\end{exo}
\begin{exo}Résoudre le système suivant pour $(x,y)\in \N$:
\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} ppcm(x,y)&=30 \,  pgcd (x,y)\\ y-x&=7 \end{aligned} \right. \end{equation*}
\end{exo}
\begin{exo}
Soit $a\in\N^*$ et $r\in\N$, $r\geqslant 2$. Montrer que si le nombre $a^r-1$ est premier, alors $a=2$ et $r$ est premier. 
\end{exo}
\begin{exo}
Soit $n\in\N$. Montrer que si le nombre $2^n+1$ est premier, alors $n $ est une puissance de 2. 
\end{exo}
\end{document}