\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyhdr} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathématiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\Sig}{\mathfrak{S}}
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\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Analyse}
\rhead{2007/2008}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD7 Arithm\'etique}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer  $d=pgcd(30,105,154).$ 
\item Trouver un triplet d'entiers relatifs
$(u,v,w)$ tel que $30u+105v+154v=d.$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $d=pgcd(378,315,210).$
\item Trouver un triplet d'entiers relatifs $(a,b,c)$ tel que $378a+315b+210c=d.$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Effectuer la division euclidienne de 
\begin{enumerate}
 \item[a)] $X^7$ par  $X^2+1$,
 \item[b)] $X^7$ par $X^2+2X+3$,
 \item[c)] $180X$ par $3X^2$,
 \item[d)] $4X^4+2X^3+3$ par $3X+1$.
 \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $P\in\R[X]$, $a$ et $b$ deux r\'eels distincts. Trouver le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$, $(X-a)(X-b)$ et par $(X-a)^2$. 
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $P(X)=1+X+X^2+X^3+X^4$.
\begin{enumerate}
\item
 Trouvez quatre nombres complexes $w_1,w_2,w_3$ et $w_4$ tels que\newline $P(X)=(X-w_1)(X-w_2)(X-w_3)(X-w_4)$. 
 \item En d\'eduire l'existence de deux polyn\^omes $Q_1,Q_2$ de $R[X]$  sans racines r\'eelles tels que $P=Q_1Q_2$.
 \item En d\'eduire les valeurs de $cos(\frac{2\pi}{5})$ et $cos(\frac{4\pi}{5})$.
 \end{enumerate}
\end{exo}
\newpage
\begin{exo}
Soit $(k,n)\in \N^*\times\N^*$ et $a\in\R^*$.  Soit $q$ (resp. $r$)  le quotient (resp. le reste) de la division euclidienne de $n$ par $k$ (c'est-\`a-dire que $n=qk+r$ avec $0 \leq r < k$). Montrer que le reste de la division euclidienne de \begin{enumerate}
\item
$X^n$ par $X^k-a$ est $a^qX^r$,
\item $X^n-a^n$ par $X^k-a^k$ est $a^{kq}(X^r-a^r)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}
%Soient $k$ et $n$ deux entiers naturels, trouver une condition n\'ecessaire et suffisante %pour que \begin{enumerate}
%\item $X^k-1$ divise $X^n-1$,
%\item $X^k-a^k$ divise $X^n-a^n$
%\end{enumerate}
%end{exo}


\end{document}