\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyhdr} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
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\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Géométrie}
\rhead{2008/2009}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD3: Image réciproque, composée, géométrie}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Pour ceux qui ne l'ont pas encore fait]
On consid\'ere la fonction partie enti\`ere E, la fonction identit\'e $id$, et la fonction carr\'e  $ f(x)=x^{2} $, d\'efinies sur $\R$.\\
D\'eterminer pour chacune de ces fonctions:
\begin{enumerate}
\item{\em les images de :}$$ \R\; ,\; A=[0,3]\; ,\; B=]3,4[\; ,\; ]-2,1[ $$
\item{\em les images r\'eciproques de :}$$ \R \;, \;\{\frac{1}{2}\}\; ,\; \{5\} \;,\; ]2,9] $$
\item{\em D\'eterminer :} $$ E({A}\cap{B})\; et \;{E(A)}\cap{E(B)} $$\\
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\{0,1,2,3\}$, $F=\{0,4,1,7\}$ et $G=\{2,4,-1,1\}$. 
On d\'efinit des applications $f:E\rightarrow F$ et $g: F\rightarrow G$ par
$$ f(0)=0;\; f(1)=7;\; f(3)=1;\; f(2)=0 $$ $$g(0)=2;\; g(7)=-1;\; g(1)=2;\; g(4)=1.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $g\circ f(x)$ pour tout $x\in E$
\item Calculer $(g\circ f)^{-1}(\{2,1\})$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A$ un point de $\R^2$ et $\theta$ un angle. 
On définit la rotation plane $r_{A,\theta}: \R^2\rightarrow\R^2$ comme étant la rotation de centre $A$ et d'angle $\theta$.\\
Plus précisément $r_{A,\theta}(B)$ est le point $C$ situé sur $\mathcal C_{A,AB}$ le cercle de centre $A$ et de rayon AB, tel que $(\vec{AB},\vec{AC})=\theta$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $r_{A,\theta}$ est une bijection en explicitant $(r_{A,\theta})^{-1}$.
\item Determiner $r_{A,\theta}(\mathcal C_{A,t})$ (où $t\in\R$)
\item Determiner $r_{A,\theta}\circ r_{A,\beta}\circ r_{A,-\gamma}$.
\item Montrer que $r_{O,\pi}\circ r_{(0,1),\pi}\neq r_{(0,1),\pi}\circ r_{O,\pi}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
$D$ étant une droite de $\R^2$, on définit $s_{D}:\R^2\rightarrow\R^2$ comme étant la symétrie d'axe $D$.
Plus précisément, si $D^\perp_{A}$ est la perpendiculaire à $D$ passant par $A$, $s_{D}(A)$ est le point $C$ situé sur $D^\perp_{A}$ 
tel que $\vec{AC}=2\vec{AK}$ où $K$ est le point d'intersection de $D$ avec $D^\perp_{A}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $s_{D}$ est une bijection.
\item On suppose que $D$ passe par $O=(0,0)$. Determiner $(s_{D})^{-1}(D^\perp_{O})$
\item Determiner $s_{D}\circ s_{D^\perp_{O}}\circ r_{O,\pi}$ et conclure.
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}
Soient E et F des ensembles. Soit $f :E\rightarrow F$ une application.\\
Soient X et X' des parties de E. Soient Y,Y' des parties de F.
Comparer les ensembles suivants:
\begin{enumerate}
\item $f({X}\cup{X'})$ et ${f(X)}\cup{f(X')}$
\item $f({X}\cap{X'})$ et ${f(X)}\cap{f(X')}$
\item $f^{-1} (Y\cap Y')$ et $f^{-1}(Y)\cap f^{-1}(Y')$
\item $f^{-1} (Y\cup Y')$ et $f^{-1}(Y)\cup f^{-1}(Y')$
\item $X$ et $f^{-1}(f(X))$
\item $Y$ et $f(f^{-1}(Y))$ 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que la projection sur une droite $D$ par rapport à une droite $D'$ est une surjection. Déterminer l'image réciproque d'un point $A$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:E\rightarrow F$ une application.\\
Montrer que $f$ est injective si et seulement si $X=f^{-1}(f(X))$ pour tout $X\subseteq E$\\
Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $Y=f(f^{-1}(Y))$ pour tout $Y\subseteq F$
\end{exo}

\begin{exo}
Soient E, F et G trois ensembles.
Soient deux applications $f : E\rightarrow F$ et $g : F\rightarrow G$.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ surjective}\Rightarrow g\text{ surjective}$.
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ injective}\Rightarrow f\text{ injective}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble et $f$ une application injective de $E$ dans $E$, c'est \`a dire une application v\'erifiant:
$$\forall x_{1}, x_{2}\in E,\ f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longleftrightarrow x_{1} = x_{2}.$$
On d\'efinit par r\'ecurrence sur $n\geq 1$ des applications $f^{n}$ par
\begin{align*}
f^{1} &= f & f^{n} = f \circ f^{n-1}
\end{align*}
o\`u $f\circ g$ d\'esigne la fonction compos\'e de $g$ par $f$ d\'efinie par
$$f\circ g (x) = f \bigl( g (x) \bigr)$$
pour tout $x\in E$ et toute application $g:E\longrightarrow E$.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que pour tout $n\geq 1$ l'application $f^{n}$ est injective.}
\item{\em Montrer que si f surjective, pour tout $n\geq 1$, l'application $f^{n}$ est surjective.}\\
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n\in\N^*$. On définit $\Sig_n$ comme l'ensemble des bijections de $\{1,\dots,n\}$ dans $\{1,\dots,n\}$. On définit la loi $\circ$ sur $\Sig_n$ par $\sigma \circ \tau(x)=\sigma(\tau(x))$. C'est la composée des deux bijections. Pour visualiser un élément $\sigma\in\Sig_n$ on le notera $$\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & \dots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma (n)\\ \end{array}\right).$$

\item[a)] Calculer $\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array}\right)$.
\item[b)] Montrer que $(\Sig_n,\circ)$ est un groupe.
\item[c)] Montrer que $\circ$ n'est pas commutative (on pourra se restreindre au cas $n=3$).
\item[d)] Soit $f:= \left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 &3\\ \end{array}\right)$, $g=\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 &4\\ 2 & 3 & 4 &1\\ \end{array}\right)$.
Comparer $(f\circ g)^{-1}$ et\\
 $f^{-1}\circ g^{-1}$.

\end{exo}

%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $-12+5i$
%\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
%$$(1-i)z^2-(3-5i) z+ (6-4i)=0$$
%\end{enumerate}
%\end{exo}

%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $15-8i$
%\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
%$$z^2+(2-3i) z- (5+i)=0$$
%\end{enumerate}
%\end{exo}


\end{document}