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\begin{document}



\noindent{\small {\bf Universit� de Brest  } \hfill {\sc2008 - 2009}
\\ {\bf L1-Alg{\`e}bre -g�om�trie} \vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bf TD  7-8 }
\end{center}
\vspace{0.1cm}


\vspace{1cm}


 \noindent {\bf Exercice 1.}

 \vspace{0.4cm}


 Soit $(G,.)$ un groupe tel que $x^2 = 1_{G}$ \; $\forall x\in G$ .

 Montrer que $G$ est commutatif.

 \vspace{1.2cm}

 \noindent {\bf Exercice 2.}

 \vspace{0.4cm}

  Soit $(G,.)$ un groupe. $H \subset G$.

  On dit que $H$ est sous groupe de $G$ si \noindent {\bf i)}$H\neq \emptyset$ et \noindent {\bf ii)}$\forall  x, y \in H\qquad xy^{-1} \in H$.

  \noindent {\bf 1)} Montrer que l'intersection de deux sous-groupes de $G$ est un sous groupe de $G$.

  \vspace{0.4cm}

  \noindent {\bf 2)} On suppose que $G=\Z$, $n\in \N $.
  Montrer que $n\Z$ est un sous groupe de $G$.

\vspace{1cm}

 \noindent {\bf Exercice 3.}
 \vspace{0.4cm}

  \noindent {\bf 1)} Montrer que l'ensemble des nombres complexes de module 1, muni de

 la multiplication est un groupe.
 
 \vspace{0.4cm}

  \noindent {\bf 2)} Montrer que l'ensemble des racines  de $z^n = 1$ dans $\C$, muni de

 la multiplication est un groupe.\quad( $n\in \N$)


 \vspace{1cm}

 \noindent {\bf Exercice 4.}

 \vspace{0.4cm}


 Montrer par r�currence que

 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 1)} $\forall n\in \N \quad 1+2+3+\ldots+n =\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}$.

 \vspace{0.4cm}

 \noindent {\bf 2)} $\forall n\in \N \quad 2^{3^n} -2 $ est divisible par $3$.

 \vspace{0.4cm}

 \noindent {\bf 3)} $\forall n\in \N,$ $$ \sum_{k=0}^{n}( 3k+1) = \frac{3n^2 +5n +2}{2}$$

\vspace{0.3cm}

\noindent {\bf 4)} $\forall n\in \N,$ $$ \sum_{k=0}^{n}(3k^2 +3k+1) = n^3$$

\vspace{0.3cm}

\noindent {\bf 5)} $\forall n\in \N, 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 =\displaystyle{ \frac{n(n+1(2n+1)}{6}}$

\vspace{0.3cm}

\noindent {\bf 6)} Calculer \quad $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ 
\vspace{1cm}

  \noindent {\bf Exercice 5.}

 \vspace{0.4cm}

 Soit $E$ un ensemble. $P(E)$ l'ensemble des parties de $E$.

 Montrer que $(P(E), \Delta,\bigcap)$ est un anneau commutatif unitaire.

 \vspace{1cm}


 \noindent {\bf Exercice 6.}

 \vspace{0.4cm}


 R�soudre les �quations suivantes dans $\C$ :

\vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 1)} $z^2 -(9-2i)z +26 = 0$
 
 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 2)} $2iz^2 -(6+6i)z +5 = 0$
 
 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 3)} $z^6 + z^4 +z^2 +1 = 0$

 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 4)} $ z^3 = 1+i$

 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 5)} $(z-1)^3 = (z-i)^3$

 \vspace{1cm}

 \noindent {\bf Exercice 7.}

 \vspace{0.4cm}


 D�terminer l'ensemble des points $M(z)$ du plan complexe v�rifiant :
 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 1)} $|\displaystyle{\frac{z+1}{z-2i}| = 1}$

 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 2)} $|\displaystyle{\frac{z+1}{z-2i}| = 2}$

 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 3)} $\displaystyle{\frac{z+1}{z-2i}}$ est r�el

 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 4)} $\displaystyle{\frac{z+1}{z-2i}}$ est imaginaire pur

 \vspace{0.4cm}


 \noindent {\bf 5)} $\displaystyle{Arg(\frac{z+1}{z-2i}) = \frac{\pi}{2} } $


 \vspace{0.4cm}

\end{document}
