\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Géométrie}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD1: Logique et Ensembles}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Prouver les relations logiques
$$ A\vee (B\vee C)=(A\vee B) \vee C$$
$$ A\vee (B\wedge C)=(A\vee B)\wedge (A\vee C)$$
\item Prouver les relations ensemblistes
$$ {A}\cup{({B}\cup{C})} = {({A}\cup{B})}\cup{C} $$
$$ {A}\cup{({B}\cap{C})} = {({A}\cup{B})}\cap({A}\cup C) $$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner la négation des assertions suivantes:
$$P\wedge\neg Q, \quad P\vee(Q\wedge R), \quad P\Rightarrow Q, \quad P\Rightarrow(Q\Rightarrow R), \quad P\Leftrightarrow Q$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $A$ et $B$ deux assertions. Montrer que les assertions $(A\Rightarrow B)$ et $(\neg B \Rightarrow \neg A)$ sont équivalentes
\end{exo}

\begin{exo}
Soient A, B et C trois assertions. Montrer que les assertions suivantes sont des tautologies.
\begin{itemize}
\item $A\wedge\neg A\Rightarrow B$
\item $(A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow(\neg A \Leftrightarrow \neg B)$
\item $(A\Leftrightarrow B)\Rightarrow((A\Rightarrow C)\Leftrightarrow(B\Rightarrow C))$
\item $(A\Leftrightarrow B)\Rightarrow((A\vee C)\Leftrightarrow(B\vee C))$
\item $(A\Leftrightarrow B)\Rightarrow((A\wedge C)\Leftrightarrow(B\wedge C))$
\end{itemize}
\end{exo}

%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item Dans le plan complexe, considérer le rectangle plein délimité par les droites d'équation $x=1$, $x=6$, $y=2$, $y=5$ comme un produit cartésien et représenter cet ensemble.
%\item Soient les intervalles $E=[1;6], F=[2;5], A=[2;3]\subset E$ et $B=[3;4]\subset F$. On sonsidère $E\times F$ et on pose $\bar A=E\setminus A$ et $\bar B=F\setminus B$. Représenter sur le graphique précédent, les ensembles $A\times B$, $\bar A\times B$, $A\times \bar B, \ \bar A \times \bar B$. Vérifier qu'ils forment une partition de $E\times F$  
%\item Ecrire $(E\times F) \setminus (A\times B)$ sous la forme d'une union de produits cartésiens
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}[Différences symétriques]
Soit E un ensemble; A et B des sous-ensembles de E. On rappelle que $A\setminus B=A\cap B^c$ et on d\'efinit la diff\'erence sym\'etrique de A et B  par $$ {A}\bigtriangleup{B}={({A}\setminus{B})}\cup{({B}\setminus{A})} $$
\begin{enumerate}
\item{\em Faire un dessin pour illustrer cette d\'efinition}.
\item Soient $A,B,C,D$ des sous-ensembles de $E$. Prouver que \begin{itemize}
\item[i)] $A^c\bigtriangleup B^c=A  \bigtriangleup B$
\item[ii)] $A \bigtriangleup B=\emptyset$ ssi A=B
\item[iii)]Si $A \bigtriangleup B=A \bigtriangleup C$ alors $B=C$
\item[iv)] Si $A\bigtriangleup B=A\cap B$ alors $A=B=\emptyset$. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $\forall x\in \N; \exists y\in \N$ tel que $y>x$.
En revanche, montrer que l'assertion $\exists y\in \N$ tel que $\forall x \in \N ; y>x$  est fausse.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$. On appelle Epi(f) l'ensemble $\{(x,y)\in \R^2\mid y\geqslant f(x)\}$
Montrer que $f\leqslant g \Rightarrow Epi(f) \subset Epi(g)$.
\end{exo}

\end{document}