\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Géométrie}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD2: Ensembles/ Applications}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}



%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item{\em Expliquer ce que sont, pour $f$ fonction 2 fois d\'erivable et $g$ fonction continue par morceaux, les ensembles suivants:}
%$$ \{(x,y) \in \R^{2}\ \mid y= \underset{z \rightarrow x}{lim} \frac{f(x)-f(z)}{x-z}\} $$
%$$ \{z \in \R \mid \underset{x \rightarrow z,\;
%x \leq z}{lim} g(x)-g(z) \neq 0 
%\mathrm{\;ou} \underset{x \rightarrow z,\;
%x \geq z}{lim} g(x)-g(z) \neq 0  \} $$
%\item{\em Ecrire, de la m\^eme facon:}\\

%\begin{itemize}
%\item l'ensemble des nombres impairs\\
%\item l'ensemble des suites convergentes\\
%\item l'ensemble des nombres premiers, avec leur d\'efinition\\
%\item l'ensemble des zéros d'une fonction
%\end{itemize}
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A=\{0,1,2,3\}$ et $B=\{0,4,1,7\}$. On d\'efinit des applications $f$ et $g$ de $A$ dans $B$ par:$$ f(0)=0;\; f(1)=7;\; f(3)=1;\; f(2)=4 $$ $$g(0)=1;\; g(3)=7;\; g(1)=1;\; g(2)=0$$
\begin{enumerate}
\item{\em} Déterminer l'image directe par $g$ de l'ensemble $A$, l'image réciproque (par $g$) de $\{0,1\}$ puis de $\{7,4\}$.
\item{\em} Que peut-on dire de l'application $f$?
\item{\em} Que peut-on dire de l'application $g$?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans chacun des cas suivants, l'application $f$ est-elle injective, bijective, surjective?
\begin{align*}
f : \R &\rightarrow \R& f : \R^{+} &\rightarrow \R^{+}& f : \R^{+} &\rightarrow \R& f : \R &\rightarrow \R^{+}& \\
x &\mapsto x^{2}& x &\mapsto x^{2}& x &\mapsto x^{2}& x &\mapsto x^{2}& 
\end{align*}
\begin{align*}
 f : \N &\rightarrow \N& f : \Q^{*} &\rightarrow \Q^{*}& g : \R^{*} &\rightarrow \R& \\
x &\mapsto x^{2}&  x&\mapsto \frac{1}{x}&  x&\mapsto \frac{1}{x}&
\end{align*}
\begin{align*}
f : \N &\rightarrow \N& f : \Z &\rightarrow \Z& f : \N &\rightarrow \N& f : \N &\rightarrow \N& \\
n &\mapsto n+1& n &\mapsto n+1& n &\mapsto 2n& n &\mapsto 
\begin{cases}
\frac{n}{2}&\text{si n pair}\\
\frac{n+1}{2}&\text{si n impair}
\end{cases} & 
\end{align*}
\end{exo}
%\begin{exo}
%Un promeneur mycophile revient de sa cueillette. Avant d'apporter les champignons chez le pharmacien pour les faire identifier, il les r\'epertorie. Il trouve:
%\begin{itemize}
%\item 12 champignons roses 
%\item 27 champignons \`a lamelles
%\item 39 champignons \`a chapeau convexe 
%\end{itemize}
%Parmi la cueillette, le promeneur remarque que:
%\begin{itemize}
%\item Parmi les champignons \`a chapeau convexe, 12 avaient des lamelles et 7 \'etaient de couleur rose.
%\item Parmi les champignons \`a lamelle, 6 -dont 2 avec un chapeau convexe- \'etaient roses.
%\end{itemize}
%\begin{enumerate}
%\item{\em} Combien de champignons le promeneur a-t'il ramass\'e?
%\item{\em} Combien de champignons \`a chapeau convexe n'ont ni lamelles ni la couleur rose?
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\{1,2,3\}$ écrire les éléments de $\mathcal{P}(E)$. Attention aux accolades!
\end{exo}

\begin{exo}
Exprimer la relation entre les deux \'el\'ements de chacun des couples suivants, à l'aide des signes d'inclusion et appartenance:
$$ \ (\emptyset , \R)\ ,\ (1 , \Z)\ ,\ (\{1\} , 1)\ ,\ (\R , \Z), \ (\{1,2\} , P(\Z))\ $$
$$(\{1,2\} , \Z), \ (\{\emptyset\} , P(E)),\ (\emptyset , \emptyset)\ ,\ (\emptyset , \{\emptyset\}),\ (\emptyset , P(E))$$ $$ (\{f \mid f\; fonction\; continue\; sur\; \R\} , \{f \mid f\; fonction\; d\acute{e}rivable\; sur\; \R\})$$
$$(\R , \{p \in \N \mid p\; nombre\; premier\}) $$
\\
\end{exo}

\begin{exo}
On consid\'ere la fonction partie enti\`ere E, la fonction identit\'e $id$, et la fonction carr\'e  $ f(x)=x^{2} $, d\'efinies sur $\R$.\\
D\'eterminer pour chacune de ces fonctions:
\begin{enumerate}
\item{\em les images de :}$$ \R\; ,\; A=[0,3]\; ,\; B=]3,4[\; ,\; ]-2,1[ $$
\item{\em les images r\'eciproques de :}$$ \R \;, \;\{\frac{1}{2}\}\; ,\; \{5\} \;,\; ]2,9] $$
\item{\em D\'eterminer :} $$ E({A}\cap{B})\; et \;{E(A)}\cap{E(B)} $$\\
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soient E et F des ensembles. Soient $f :E\rightarrow F$ et $g : E\rightarrow F$ deux applications.\\
Soient X et X' des parties de E. Soient Y,Y' des parties de F.
Comparer les ensembles suivants:
\begin{enumerate}
\item $f({X}\cup{X'})$ et ${f(X)}\cup{f(X')}$
\item $f({X}\cap{X'})$ et ${f(X)}\cap{f(X')}$
\item $f^{-1} (Y\cap Y')$ et $f^{-1}(Y)\cap f^{-1}(Y')$
\item $f^{-1} (Y\cup Y')$ et $f^{-1}(Y)\cup f^{-1}(Y')$
\item $X$ et $f^{-1}(f(X))$
\item $Y$ et $f(f^{-1}(Y))$ 
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $f:E\rightarrow F$ une application.\\
Montrer que $f$ est injective si et seulement si $X=f^{-1}(f(X))$ pour tout $X\subseteq E$\\
Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $Y=f(f^{-1}(Y))$ pour tout $Y\subseteq F$
\end{exo}

\begin{exo}
Soient E, F et G trois ensembles.
Soient deux applications $f : E\rightarrow F$ et $g : F\rightarrow G$.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ surjective}\Rightarrow g\text{ surjective}$.
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ injective}\Rightarrow f\text{ injective}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un ensemble et $f$ une application injective de $E$ dans $E$, c'est \`a dire une application v\'erifiant:
$$\forall x_{1}, x_{2}\in E,\ f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longleftrightarrow x_{1} = x_{2}.$$
On d\'efinit par r\'ecurrence sur $n\geq 1$ des applications $f^{n}$ par
\begin{align*}
f^{1} &= f & f^{n} = f \circ f^{n-1}
\end{align*}
o\`u $f\circ g$ d\'esigne la fonction compos\'e de $g$ par $f$ d\'efinie par
$$f\circ g (x) = f \bigl( g (x) \bigr)$$
pour tout $x\in E$ et toute application $g:E\longrightarrow E$.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que pour tout $n\geq 1$ l'application $f^{n}$ est injective.}
\item{\em Montrer que si f surjective, pour tout $n\geq 1$, l'application $f^{n}$ est surjective.}\\
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}