\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyhdr} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Géométrie}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD3: Image réciproque, composée, géométrie}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Soit $E=\{0,1,2,3\}$, $F=\{0,4,1,7\}$ et $G=\{2,4,-1,1\}$. 
On d\'efinit des applications $f:E\rightarrow F$ et $g: F\rightarrow G$ par
$$ f(0)=0;\; f(1)=7;\; f(3)=1;\; f(2)=0 $$ $$g(0)=2;\; g(7)=-1;\; g(1)=2;\; g(4)=1.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $g\circ f(x)$ pour tout $x\in E$
\item Calculer $(g\circ f)^{-1}(\{2,1\})$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On définit les deux relations suivantes sur l'ensemble des personnes:
\item[a)] Une personne $x$ est en relation avec une autre personne $y$ si $x$ et $y$ passent au moins dix heures par semaine ensemble.
\item[b)] $x$ et $y$ sont en relation si $x$ et $y$ passent tout leur temps ensemble.\\

\noindent Ces relations sont-elles des relations d'équivalence?
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\{-2,-1,0,1,2,3\}$, on définit la relation $\mathcal R$ sur $E$ par 
$$x \, \mathcal R \, y \textrm{ si } x^{2}=y^2$$
\item[a)]Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
\item[b)]Determiner la classe d'équivalence de $0$.
\item[c)]Combien y a-t'il de classes d'équivalences dans $E$ pour la relation $\mathcal R$?
\end{exo}

\begin{exo}[exercice de la semaine dernière]
Soient E et F des ensembles. Soit $f :E\rightarrow F$ une application.\\
Soient X et X' des parties de E. Soient Y,Y' des parties de F.
Comparer les ensembles suivants:
\begin{enumerate}
\item $f({X}\cup{X'})$ et ${f(X)}\cup{f(X')}$
\item $f({X}\cap{X'})$ et ${f(X)}\cap{f(X')}$
\item $f^{-1} (Y\cap Y')$ et $f^{-1}(Y)\cap f^{-1}(Y')$
\item $f^{-1} (Y\cup Y')$ et $f^{-1}(Y)\cup f^{-1}(Y')$
\item $X$ et $f^{-1}(f(X))$
\item $Y$ et $f(f^{-1}(Y))$ 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que la projection sur une droite $D$ par rapport à une droite $D'$ est une surjection. Déterminer l'image réciproque d'un point $A$
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $f:E\rightarrow F$ une application.\\
Montrer que $f$ est injective si et seulement si $X=f^{-1}(f(X))$ pour tout $X\subseteq E$\\
Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $Y=f(f^{-1}(Y))$ pour tout $Y\subseteq F$
\end{exo}

\begin{exo}
Soient E, F et G trois ensembles.
Soient deux applications $f : E\rightarrow F$ et $g : F\rightarrow G$.
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ surjective}\Rightarrow g\text{ surjective}$.
\item{\em Montrer que : }$g\circ f\text{ injective}\Rightarrow f\text{ injective}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

%\begin{exo}
%Soit $E$ un ensemble et $f$ une application injective de $E$ dans $E$, c'est \`a dire une application v\'erifiant:
%$$\forall x_{1}, x_{2}\in E,\ f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longleftrightarrow x_{1} = x_{2}.$$
%On d\'efinit par r\'ecurrence sur $n\geq 1$ des applications $f^{n}$ par
%\begin{align*}
%f^{1} &= f & f^{n} = f \circ f^{n-1}
%\end{align*}
%o\`u $f\circ g$ d\'esigne la fonction compos\'e de $g$ par $f$ d\'efinie par
%$$f\circ g (x) = f \bigl( g (x) \bigr)$$
%pour tout $x\in E$ et toute application $g:E\longrightarrow E$.
%\begin{enumerate}
%\item{\em Montrer que pour tout $n\geq 1$ l'application $f^{n}$ est injective.}
%\item{\em Montrer que si f surjective, pour tout $n\geq 1$, l'application $f^{n}$ est surjective.}\\
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n\in\N^*$. On définit $\Sig_n$ comme l'ensemble des bijections de $\{1,\dots,n\}$ dans $\{1,\dots,n\}$. On définit la loi $\circ$ sur $\Sig_n$ par $\sigma \circ \tau(x)=\sigma(\tau(x))$. C'est la composée des deux bijections. Pour visualiser un élément $\sigma\in\Sig_n$ on le notera $$\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & \dots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma (n)\\ \end{array}\right).$$

\item[a)] Calculer $\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array}\right)$.
\item[b)] Montrer que $(\Sig_n,\circ)$ est un groupe.
\item[c)] Montrer que $\circ$ n'est pas commutative (on pourra se restreindre au cas $n=3$).
\item[d)] Soit $f:= \left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 &3\\ \end{array}\right)$, $g=\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 &4\\ 2 & 3 & 4 &1\\ \end{array}\right)$.
Comparer $(f\circ g)^{-1}$ et\\
 $f^{-1}\circ g^{-1}$.

\end{exo}

%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $-12+5i$
%\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
%$$(1-i)z^2-(3-5i) z+ (6-4i)=0$$
%\end{enumerate}
%\end{exo}

%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $15-8i$
%\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
%$$z^2+(2-3i) z- (5+i)=0$$
%\end{enumerate}
%\end{exo}


\end{document}