\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyhdr} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\Sig}{\mathfrak{S}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algèbre-Géométrie}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD4:Relations/Groupes}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Soit $\mathcal R$ la relation définie sur $\mathbb C^*$ par $$z \, \mathcal R \, z'\quad \text{si} \quad \frac z {z'}\in\R^{+*}.$$
Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence et décrire (sans démonstration) les classes d'équivalence .
\end{exo}

\begin{exo}
On définit les deux relations sur $\R^2$, $\preceq$ et $\dashv$ par
$$ (x,y)\preceq (x',y') \textrm{ si } x\leqslant x' \textrm{ ou } y\leqslant y',$$
$$ (x,y)\dashv (x',y') \textrm{ si } x\leqslant x' \textrm{ et } y\leqslant y'. $$
Ces relations sont-elles des relations d'ordre?
\end{exo}

%\begin{exo}
%Soit $E=\{-2,-1,0,1,2\}$ et soit $F=E\times E$. Soit $\mathcal R$ la relation sur $F$ définie par 
%$$(x,y)\mathcal R (u,v)\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2=(u^2-v^2)^2.$$
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence sur $F$.
%\item Determiner la classe d'équivalence de $(0,0)$.
%\item Combien y a-t'il de classes d'équivalences dans $F$?
%\end{enumerate}
%\end{exo}

\begin{exo}
On munit $\N^*$ de la relation $\preceq$ définie par
$$p  \preceq   q \Leftrightarrow \exists \, n\in\N^*,\,  p^n=q.$$
\item[a)] Montrer que $\preceq$ est une relation d'ordre. Cet ordre est-il total?
\item[b)] La partie $\{2,3\}$ est-elle majorée?
\end{exo}

\begin{exo}
On muni $E=\{0,1,\dots,4\}$ de la loi de composition interne $\star$ définie par $c=a\star b$ si 
$$ \exists k \in \Z \mbox{ tel que } c+5k=a+b.$$
Ecrire la table de la loi $\star$.\\
Est-ce que (E,$\star$) est un groupe?\\
Faire de même avec $F=\{1,\dots,4\}$ et $\dashv$ définie par $c=a\dashv b$ si
$$\exists k \in \Z \mbox{ tel que } c+5k=a\times b.$$
En déduire une structure de corps sur $E$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n\in\N^*$. On définit $\Sig_n$ comme l'ensemble des bijections de $\{1,\dots,n\}$ dans $\{1,\dots,n\}$. On définit la loi $\circ$ sur $\Sig_n$ par $\sigma \circ \tau(x)=\sigma(\tau(x))$. C'est la composée des deux bijections. Pour visualiser un élément $\sigma\in\Sig_n$ on le notera $$\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & \dots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma (n)\\ \end{array}\right).$$

\item[a)] Calculer $\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array}\right)$.
\item[b)] Montrer que $(\Sig_n,\circ)$ est un groupe.
\item[c)] Montrer que $\circ$ n'est pas commutative (on pourra se restreindre au cas $n=3$).
\item[d)] Soit $f:= \left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 &3\\ \end{array}\right)$, $g=\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 &4\\ 2 & 3 & 4 &1\\ \end{array}\right)$.
Comparer $(f\circ g)^{-1}$ et\\
 $f^{-1}\circ g^{-1}$.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
\item[a)] Soit $E=\{f:\C\rightarrow \C \mid \exists \, a\in \C^*, \exists \, b\in \C  \forall z\in \C, \, f(z)=az+b\}$ muni de la composition. Montrer que c'est un groupe. Ce groupe est-il commutatif? 
\item[b)] Qu'en est-il pour $E=\{f:\C\rightarrow \C \mid \exists \, a\in \C^*, \exists \, b\in \C  \forall z\in \C, \, f(z)=a\overline{z}+b\}$
muni de la composition?
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Déterminer le nombre d'éléments du plus petit groupe non-commutatif.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $(G,.)$ un groupe,\\
i) Montrer que si $e$ et $e'$ sont des éléments neutres alors $e=e'$.\\
ii) Soit $g\in G$, $\Phi_{g}:\left\{\begin{array}{l l l} G&\rightarrow &G\\ h&\mapsto &g.h\end{array}\right.$,
$\Psi_{g}:\left\{\begin{array}{l l l} G&\rightarrow &G\\ h&\mapsto &g.h.g^{-1}\end{array}\right.$ 
Montrer que $\Phi$ et $\Psi$ sont des bijections.\\
iii) Soit $\mathcal R$ la relation 
$$x\mathcal R y \Leftrightarrow \exists g, \; \Psi_{g}(x)=y.$$
Montrer que c'est une relation d'équivalence.\\
iv) Montrer que $(\{\psi_g\mid g\in G\},\circ)$ est un groupe. Trouver un exemple où il n'est pas isomorphe à $G$.

\end{exo}
%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $-12+5i$
%\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
%$$(1-i)z^2-(3-5i) z+ (6-4i)=0$$
%\end{enumerate}
%\end{exo}

%\begin{exo}
%\begin{enumerate}
%\item Determiner les racines carrées du nombre complexe $15-8i$
%\item Determiner dans $\C$ les solutions de l'équation
%$$z^2+(2-3i) z- (5+i)=0$$
%\end{enumerate}
%\end{exo}


\end{document}