\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
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\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathématiques
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
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\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S1}
\lhead{Algébre-Géométrie}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD5: Relations/Groupe/Anneaux...}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Soit $A,B$ deux points du plan $\R^2$. Dire (sans démonstration) si $\mathcal R$ est une relation d'équivalence (ou d'ordre) et si oui déterminer les classes d'équivalences.
\begin{itemize}
\item[a)] $x\mathcal R y$ si $x$ et $y$ sont équidistant de $A$,
\item[b)] $x\mathcal R y$ si $\vec{Ax}=\vec{yA}$,
\item[c)] $x\mathcal R y$ si $\vec{xy}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaire.
\item[d)] $x\mathcal R y$ si $\mid xy\mid=\mid AB\mid$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}
Justifier rapidement si $\mathcal R$ est (ou non) une relation d'équivalence sur $\Z$. Le cas échéant, déterminer les classes d'équivalences.
\begin{itemize}
\item $x \mathcal R y \Leftrightarrow x+y$ est un multiple de 2.
\item $x \mathcal R y \Leftrightarrow xy$ est un multiple de 3.
\item $x \mathcal R y \Leftrightarrow x+y$ est un multiple de 3.
\item  $x\mathcal R y \Leftrightarrow x-y$ est un multiple de 3. (*)
\end{itemize} 
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n\in\N^*$. On définit $\Sig_n$ comme l'ensemble des bijections de $\{1,\dots,n\}$ dans $\{1,\dots,n\}$. On définit la loi $\circ$ sur $\Sig_n$ par $\sigma \circ \tau(x)=\sigma(\tau(x))$. C'est la composée des deux bijections. Pour visualiser un élément $\sigma\in\Sig_n$ on le notera $$\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & \dots & n\\ \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma (n)\\ \end{array}\right).$$

\item[a)] Calculer $\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ \end{array}\right)$.
\item[b)] Montrer que $(\Sig_n,\circ)$ est un groupe.
\item[c)] Montrer que $\circ$ n'est pas commutative (on pourra se restreindre au cas $n=3$).
\item[d)] Soit $f:= \left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 &3\\ \end{array}\right)$, $g=\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & 3 &4\\ 2 & 3 & 4 &1\\ \end{array}\right)$.
Comparer $(f\circ g)^{-1}$ et\\
 $f^{-1}\circ g^{-1}$.
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $A$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. On munit A de l'addition et du produit usuels ($(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ et $(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)$).
\begin{enumerate}
\item Montrer que $A$ est un anneau. Est-il intègre ?
\item Donner les éléments inversibles de $A$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A=\{a+ib\mid a,b\in\Z\}$, muni du produit et de la multiplication complexe. Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\C$ et donner ses éléments inversibles.
\end{exo}



\begin{exo}[*]
Soit $(G,\circ)$ un groupe, $e$ son élément neutre et $F$ un ensemble.\\ 
On dit que $G$ agit sur $F$ via $\cdot$ si $\cdot$ et une application de $G\times F$ vers $F$ telle que 
$(g\circ g')\cdot f=g\cdot(g'\cdot f)$ et $e\cdot f=f$ pour tous $g,g'\in G$ et $f\in F$.\\
On définit la relation $\mathcal R$ sur $F$ par $$x\mathcal R y \mbox{ si et seulement si } \exists g\in G,\, g\cdot x=y.$$
Quelles propriétés vérifie $\mathcal R$?
\end{exo}


\begin{exo}[*]
\item[a)] Soit $E=\{f:\C\rightarrow \C \mid \exists \, a\in \C^*, \exists \, b\in \C  \forall z\in \C, \, f(z)=az+b\}$ muni de la composition. Montrer que c'est un groupe. Ce groupe est-il commutatif? 
\item[b)] Qu'en est-il pour $E=\{f:\C\rightarrow \C \mid \exists \, a\in \C^*, \exists \, b\in \C  \forall z\in \C, \, f(z)=a\overline{z}+b\}$
muni de la composition?
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Déterminer le nombre d'éléments du plus petit groupe non-commutatif.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $(G,.)$ un groupe,\\
i) Montrer que si $e$ et $e'$ sont des éléments neutres alors $e=e'$.\\
ii) Soit $g\in G$, $\Phi_{g}:\left\{\begin{array}{l l l} G&\rightarrow &G\\ h&\mapsto &g.h\end{array}\right.$,
$\Psi_{g}:\left\{\begin{array}{l l l} G&\rightarrow &G\\ h&\mapsto &g.h.g^{-1}\end{array}\right.$ 
Montrer que $\Phi$ et $\Psi$ sont des bijections.\\
iii) Soit $\mathcal R$ la relation 
$$x\mathcal R y \Leftrightarrow \exists g, \; \Psi_{g}(x)=y.$$
Montrer que c'est une relation d'équivalence.\\
iv) Montrer que $(\{\psi_g\mid g\in G\},\circ)$ est un groupe. Trouver un exemple où il n'est pas isomorphe à $G$.
\item
\end{exo}


\end{document}