\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD2}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[La base des bases]
\begin{enumerate}
\item On pose $E=\K^2$. Soit $f:\begin{array}{r c l} E&\rightarrow& E\\ (x,y)&\mapsto &(x+2y,3x+y)\end{array}$
\begin{itemize}
\item[i)] Ecrire la matrice de l'application $f$ dans la base canonique.
\item[ii)] Déterminer le noyau et l'image de $f$.
\end{itemize}
\item Mêmes questions avec $E=\K^3$ et $f: \begin{array}{r c l}
E & \rightarrow & E\\, 
(x,y,z)&\mapsto &(3x+2y, 3y+2z, -4z+9x)\\
\end{array}$
\item Ecrire la matrice de cette dernière application dans la base $((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1))$ (après avoir vérifié que cette dernière famille est une base de $E$).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Revoilà les polynômes]
On considère l'espace vectoriel $E$ des polynomes de degré inférieur à 3 et l'application $D:E\rightarrow E$ de dérivation.
\begin{itemize}
\item[i)] Ecrire la matrice de l'application $D$ dans la base canonique $B$.
\item[ii)] Déterminer le noyau et l'image de $D$.
\item[iii)] Ecrire la matrice de $D$ dans la base $B'=((X-1)^n)_{n=0,1,2}$.
\item[iv)] Ecrire la matrice de passage de $B$ à $B'$.
\item[v)] Refaire l'exercice dans le cadre plus général $E=\K_N[X]$ avec $N\in\N^*$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Matrices de matrices]
Dans chacun des cas ci-dessous, $E$ et $F$ seront deux espaces vecoriels donnés de dimension finie. On se donnera aussi une application $f:E\rightarrow F$. On demande de vérifier que l'application est une application linéaire et d'écrire la matrice de l'application $f$ dans des bases de votre choix. 
\begin{itemize}
\item $E=F=M_2(\K)$. On pose $f$ comme étant l'application de transposition: $A\mapsto A^t$.
\item $E=M_2(\K)$, $F=M_{2,3}(\K)$. On pose $A=\left(\begin{array}{ c c c} a & b & c\\ d & e & f\\ \end{array}\right)$. On définit $f$ par $f.B=B.A$ pour $B\in E$.
\item  
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Un peu de réflection]
Soit $E=\R^2$. Soit $D\subset E$ la droite d'équation $x-2y=0$. On définit $S:E\rightarrow E$ comme étant la symétrie orthogonale par rapport à $D$. \\
Ecrire la matrice de $S$ dans la base canonique et dans une base de votre choix (Essayez de vous faire en sorte que la matrice soit plus simple).\\
Ecrire la matrice de passage d'une base à l'autre.
Determiner le noyau de $S-Id$ et le noyau de $S+Id$. Interprétation géométrique? 
\end{exo}

Corrigé TD1:
Exercice 5 (Sous-espace engendré)

L'ensemble engendré par les éléments
$$F_{i,j}=(E_{i,j}-E_{j,i})$$
est l'ensemble des matrices symétriques. En effet toute matrice symétrique $(a_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant n}$ s'écrit $\sum_{i\lnq j} a_{i,j}F_{i,j}+1/2\sum_{i=1}^n a_{i,i}F_{i,i}$. Et réciproquement toute combinaison linéaire des $F_{i,j}$ est symétrique.\\
Cette famille n'est pas libre. En effet $F_{i,j}-F_{j,i}=0$ pour $i\neq j$. (Cela suppose $n\gnq1$).\\
On a vu que $\{F_{i,j}|i\leqslant j\}$ est une famille génératrice. Il est facile de voir qu'elle est libre.
\newline

Exercice 6 ($\R$-ev \emph{vs} $\C$-ev)

I) $\R$-Base de $\C$: $(1,i)$

II)1)Un $\C$-ev de dimension $n$ est un $\R$-ev de dimension $2n$. En effet, si $(e_1,\dots e_n)$ est une $\C$-base de $E$ alors $(e_1,\dots,e_n,i e_1,\dots i e_n)$ est une $\R$-base de $E$. \\
2-3) Une $\R$-combinaison linéaire d'éléments de $E$ est aussi une $\C$-combinaison linéaire. On en déduit 2 choses: une famille $\C$-libre est $\R$-libre et une famille $\R$-génératrice est $\C$-génératrice (écrire les équations pour bien comprendre). Les réciproques sont fausses: $1$ est $\C$-génératrice mais pas $\R$-génératrice de $\C$; tandis que $(1,i)$ est $\R$-libre, mais pas $\C$-libre.  



\end{document} 
