\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
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\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD4}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[dimension 2...]
Pour les matrices suivantes, donnez le polynome caractéristique, les valeurs propres et les sous-espaces propres associés. Dire de plus si la matrice est diagonalisable.
$$\left( \begin{array} { c c}5 & 3 \\ -8 &-6 \\ \end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c}4 & 4 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c}1 & 2 \\ 3 & 6 \\ \end{array} \right).$$
\end{exo}
\begin{exo}[...dimension 3...]
Meme exercice:
$$\left( \begin{array} { c c c } 0 & \phantom-1 & 2 \\  1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &-1 \\\end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c c } 1 & 2&  3 \\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2\\\end{array} \right), \quad
\left( \begin{array} { c c c } 1 & 0&  0 \\ 1 & 0 & 1\\ -3 & -4 & 4\\\end{array} \right).$$
\end{exo}

\begin{exo}[... et un peu de dimension $n$]
On considère la matrice suivante:
$$A=\left( \begin{array} {c c c c c} 0 & 1& & & (0)\\
                                    \vdots& \ddots & \ddots & &\\
\vdots& (0) & \ddots & \ddots & \\
0& & & \ddots&1 \\
1& 0& \dots& \dots& 0\\ \end{array} \right)$$

Determiner le polynome caractéristique de $A$, ses valeurs propres et ses vecteurs propres. La diagonaliser.
\end{exo}
\begin{exo} [triangulaire par bloc (aux motives)]
Soient $p,q\in \N^*$, $A\in \mathcal M_p(\K) , \, B\in \M_{p,q}(\K), \, C\in \M_q(\K)$.
On pose alors $n=p+q$ et $M=\left(\begin{array} {c c } A & B\\ 0& C\\ \end{array}\right).$
Determiner les relations entre les valeurs propres de $A$ et $C$ et les valeurs propres de $M$.
De meme pour les sous-espaces propres et les sous-espaces caractéristiques.
Enfin, que peut-on dire sur les questions de diagonalisabilité et trigonalisabilité de $A,C$ et $M$.
\end{exo}

\begin{exo}
Donner les relations existants entre les sous espaces propres, caractéristiques de $A$ et $A^n$
\end{exo}

\end{document} 
