\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD6: La fin de la diagonalisation?}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Mon ami Poly]
Soit $E=\K_N[X]$ (On fera tout d'abord les calculs dans le cas $N=2$). On considère les endomorphismes $f$ et $g$ suivants:
$$f(P)(X)=P(X-2) \qquad g(P)(X)=P(X+1)-P'(X).$$
Determiner les valeurs propres et sous-espaces propres de $f$ et $g$. Diagonaliser ces endomorphismes
\end{exo}

\begin{exo}[Utilisez quelques théorèmes, ça peut servir]
Les matrices suivantes sont-elles trigonalisables? diagonalisables? (On considérera les cas $\K=\C$ ou $\K=\R$.)
$$\left(\begin{array} {c c} 1 & 1\\ -1 & 1\end{array} \right), \qquad \left(\begin{array} {c c} 4 & 9\\ -1 & -2\end{array} \right), \qquad  \left(\begin{array} {c c} 3 & 9\\ -1 & -3\end{array} \right)$$
\end{exo}

\begin{exo}[Valeurs propres multiples]
Diagonaliser ou trigonaliser (suivant possibilité) les matrices suivantes sur $\R$.
$$A_1\left(\begin{array} {c c c} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 &-1 &2\end{array} \right),\qquad A_2=\left(\begin{array} {c c c} 3 & 0 & -3\\ -2 & 1 & 1\\ -1 &-1 &2\end{array} \right), 
\qquad A_3=\left(\begin{array} {c c c c} 0& 2 & -2 & 2\\ -2 &0& 2 & 2\\ -2 &2 &0 &2\\ 2&2 &2 & 0\end{array} \right)$$
Résoudre maintenant le système $A_1X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 3 \end{array}\right)$ par une méthode moins couteuse que la résolution globale.\newline
Mêmes questions avec $A_2X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 3 \end{array}\right)$ et $A_3X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 3\\4 \end{array}\right)$
\end{exo}

\begin{exo}[Ben, oui, tiens! ça c'est une bonne question...]
Soit $A$ une matrice réelle
\item Montrer que si $A$ est diago(resp. trigo)nalisable sur $R$ alors elle est diago(resp. trigo)nalisable sur $\C$.
Donner des contre-exemples des réciproques
\item Montrer que si $A$ est diagonalisable sur $\C$, avec des valeurs propres réelles, alors elle est diagonalisable sur $\R$.
\end{exo}

\begin{exo}{et puis une petite $5\times 5$}
Diagonaliser
$\left( \begin{array} {c c c c c} 0 & 0& 0& 0& 1\\
                                    0& 0 &0 & 1&0\\
				    0& 0 & 1 & 0 &0 \\
				    0& 1& 0& 0&0 \\
				    1& 0& 0& 0& 0\\ \end{array} \right)$
\end{exo}
\end{document} 
