\documentclass[french,11pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\gnq} {>}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD7: Où viennent les polynômes annulateurs}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}[Ben, oui, tiens! ça c'est une bonne question...]
Soit $A$ une matrice réelle
\item Montrer que si $A$ est diago(resp. trigo)nalisable sur $R$ alors elle est diago(resp. trigo)nalisable sur $\C$.
Donner des contre-exemples des réciproques
\item Montrer que si $A$ est diagonalisable sur $\C$, avec des valeurs propres réelles, alors elle est diagonalisable sur $\R$.
\end{exo}

\begin{exo}[Les cas de base]
Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des nombres complexes non necessairement distincts. On note $\mu_1, \dots, \mu_k$ ces memes nombres complexes, sans répétition. On note $m_i=\sharp\{j\in[\![1,n]\!]| \mu_i=\lambda_j\}$.
Calculer le polynome caractéristique et le polynome minimal de chacune des matrices suivantes:
$$\left(\begin{array} {c c c} \lambda_1& &(0)\\ & \ddots & \\ (0) & & \lambda_n\end{array}\right)\qquad \left(\begin{array}{c c}\mu_1 & a\\ 0&\mu_1\end{array}\right)\qquad \left(\begin{array}{c c}\mu_1 & a\\ 0&\mu_2\end{array}\right) $$
$$A_i=\left(\begin{array} {c c c c} \mu_i& 1 & &(0)\\ & \ddots &\ddots & \\ & & \ddots&1\\(0) & & &\mu_i\end{array}\right)\in \mathcal M_{m_i}(\C)\qquad \left(\begin{array} {c c c} A_1& &(0)\\ & \ddots & \\ (0) & & A_k\end{array}\right)$$
\end{exo}

\begin{exo}[un peu de puissance]
$\phantom{1}$
\newline
Soit $A=\left(\begin{array}{c c}1 & 2\\ 3&4 \end{array}\right)$. Calculer $A^4$ et $A^{-1}$ grace à Cayley-Hamilton.\\
Meme question pour $A=\left(\begin{array}{c c c}0 & 1& 1\\ 1&0 & 1\\ 0& 0&1 \end{array}\right)$
\end{exo}

\begin{exo}[un peu plus de puissance]\label{ro}
Dans les deux cas suivants, diagonaliser et calculer $A^n$:
$$a) A=\left(\begin{array}{c c}2 &1 \\-1 & 0\end{array}\right) \qquad b)A=\left(\begin{array}{c c c} 1 & 1 &1\\ 2 & 2 & 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$ 
\end{exo}

\begin{exo}[Sans maitrise la puissance n'est rien]
$\phantom{1}$
\newline
On considère la matrice $A= \left(\begin{array}{c c c} 3 & 2 &-2\\ -1 & 0 & 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$. Trigonaliser $A$. Calculer le polynome minimal de $A$ et donner une forme générale pour $A^n$ grace à l'exercice \ref{ro} a)
\end{exo}
\end{document} 
