\documentclass[french,11pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2007/2008}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD10}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Soit $A_{n}$ la matrice antidiagonale de taille $n$, c'est à dire $A_{n}=\left(\begin{array}{c c c} & & 1\\ &/ & \\ 1 &&\end {array}\right)$ où les espaces vides sont des $0$. Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\R$.

Même question pour l'endomorphisme $f: \R^n\rightarrow \R^n$ défini sur la base canonique par $f(e_{i})=e_{i+1}$ pour $i\in[\![1,n-1]\!]$ et $f(e_{n})=e_{1}$.
\end{exo}

\begin{exo}

$\phantom{1}$

Soit $A=\left(\begin{array}{c c c} 3& 1& -2\\ -1&1 & 1\\ 1 &1&0\end {array}\right)$. 

Calculer le polynome caractéristique de $A$. 

Calculer $Ker(A-Id), Ker((A-Id)^2)\mbox{ et } Ker(A-2Id)$. 

Trigonaliser $A$.
\end{exo}

\begin{exo}[Sous-espaces caractéristiques et polynome minimal]
$\phantom{1}$\\
Soit $A=\left(\begin{array} {c c c c} 4 &0 & 0 &0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 &1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1\end{array}\right)$
\item[(i)] Déterminer les valeurs propres de $A$. La matrice est-elle trigonalisable?
\item[(ii)] Déterminer ses sous-espaces propres. Est-elle diagonalisable?
\item[(iii)] Déterminer les sous-espaces caractéristiques de $A$, ainsi que son polynome minimal.
\end{exo}

\begin{exo}[Puissance exponentielle]
$\phantom{1}$\\
Soit $A=\left(\begin{array} {c c c} 7& 3 & -4\\ -6 & -2 & 5\\ 4& 2 & -1\end{array}\right).$ 
\item[(i)] Calculer le polynome caractéristique de $A$ et décomposer $\R^3$ en somme des sous-espaces caractéristiques.
\item[(ii)] Trigonaliser $A$ et en déduire une formule pour $A^n$ et pour $exp(A)=\sum_{k=0}^\infty \frac {A^k}{k!}$
\end{exo}

\begin{exo}[C'est irréel]
$\phantom{1}$\\
Soit $u:\left\{\begin{array}{r c l}\R^3&\rightarrow &\R^3 \\(x,y,z)&\mapsto &(y,z,-x-y-z)\end{array}\right.$. Décomposer $\R^3$ en sous-espaces caractéristiques de l'endomorphisme $u$.
\end{exo}

%\begin{exo}[C'est irréel II]
%$\phantom{1}$\\
%Soit $A=\left(\begin{array}{c c c c} 1 & 2 & -2 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ -2 &-2& -1& -1 \end{array}\right)$.
%\item[(i)] Montrer que $C_A(T)=(T+1)^2(T+2)^2$.
%\item[(ii)] Montrer que qu'il existe $P\in GL(\R)$ tel que $P A P^{-1}$ est une matrice diagonale par blocs $2\times2$, et donner une méthode pour calculer $P$.
%\end{exo}
\end{document} 