\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2006/2007}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD3}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Montrer grace à un calcul de determinant que la famille $f$ est libre dans $E$.
\begin{enumerate}
\item $E=\R^2$, $f=((1,2),(2,3))$.
\item $E=\R^3$, $f=((1,2,3), (2,1,3), (4,8,7))$.
\item $E=\R^4$, $f=((1,1,2,\pi),(-1,1,\sqrt 7, \ln 2), (1,1, 4, 6+\pi),(-1,1,1+\sqrt 7, \ln(2e)))$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer l'inverse des matrices suivantes
\begin{enumerate}
\item $\left( \begin{array}{c c} 1 & 1\\ -1 & 1\end{array}\right)$
\item $\left( \begin{array}{c c} 1 & a\\ 0 & 1\end{array}\right)$
\item $\left( \begin{array}{c c c} 1 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 3\\ 4 &8 &7,5\end{array}\right)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A=\left( \begin{array}{c c} 1 & -2\\ 2 & -3\end{array}\right)\in \mathcal M_2(\R)$ et soit $f$ l'endomorphisme de $\R^2$ défini par $A$.
\begin{enumerate}
\item Trouver $x_1\in\R^2$ tels que $f(x_1)=-x_1$
\item Ecrire la matrice de passage de la base canonique $B$ dans la base $B'=((1,1), (0,1))$
\item Calculer $A'$, la matrice de $f$ dans la base $B'$
\item Calculer de deux facons $P(X)=\det(X\textrm{Id}-A)\in \R[X]$
\item Déterminer les racines de $P(X)$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Mêmes questions avec $A=\left( \begin{array}{c c} 2 & 1\\ -3 & -2\end{array}\right)\in \mathcal M_2(\R)$, $f(x_1)=x_1$, $f(x_2)=-x_2$, $B'=(x_1,x_2)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que si $A\in \mathcal M_{n}(\R)$, alors $A$ est inversible dans $\mathcal M_{n}(\R) $ si et seulement si $A$ est inversible dans $\mathcal M_{n}(\C)$.\\
Montrer que le rang de $A$ ne dépend pas du corps de base choisi ($\R$ ou $\C$)
\end{exo}
\begin{exo}
Soit $A,B\in\mathcal M_{n}(\K)$. Montrer que $\det\left(\begin{array}{c c}A &B\\
B& A\end{array}\right)=\det(A+B)\det(A-B)$.
\end{exo}
\end{document} 
