\documentclass[french,11pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2007/2008}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD9: suite du TD8}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
$\phantom{1}$
\newline
Soit $A=\left(\begin{array}{c c}1 & 2\\ 3&4 \end{array}\right)$. Calculer $A^4$ et $A^{-1}$ grace à Cayley-Hamilton.\\
Meme question pour $A=\left(\begin{array}{c c c}0 & 1& 1\\ 1&0 & 1\\ 0& 0&1 \end{array}\right)$
\end{exo}

\begin{exo}
Dans les deux cas suivants, diagonaliser et calculer $A^n$:
$$a)A=\left(\begin{array}{c c c} 1 & 1 &1\\ 2 & 2 & 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad b)\left(\begin{array}{c c c} 1 & 0 &1\\ 1 & 1 & 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$ 
On considère les suites récurrentes $u,v$ et $w$ vérifiant ceci:$$\left\{\begin{array}{l} u_{n+1}=u_n+w_n\\ v_{n+1}=u_n+v_n\\ w_{n+1}=v_n+w_n\end{array}\right. .$$
Calculer $u_n, v_n$ et $w_n$ en fonction de $u_0, v_0$ et $w_0$
\end{exo}

\begin{exo}
Trigonaliser cette matrice et calculer sa puissance $n$-ième $\left(\begin{array}{c c}2 &1 \\-1 & 0\end{array}\right) $
\end{exo}

\begin{exo}
$\phantom{1}$
\newline
On considère la matrice $A= \left(\begin{array}{c c c} 3 & 2 &-2\\ -1 & 0 & 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$.
On donne deux méthodes pour calculer $A^n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le polynome minimal de $A$. Montrer qu'on peut écrire $A^n$ sous la forme $u_nA+v_n Id$, puis calculer les coefficient $u_n$ et $v_n$ grace à l'exercice précédent
\item Trigonaliser $A$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$ vérifiant $f^3-f^2+f-Id_E=0$.
\begin{enumerate}
\item Que dire des valeurs propres de $f$ (si $\K=\R$ ou $\C$).
\item $f$ est-il inversible, si oui, donner son inverse.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans $\R^4$ on considère les sous-espaces vectoriels
$$F=\{(x,y,z,t)| (x+y+z=0) \mbox{ et } (x-y+t=0)\}$$
$$G=\{(x,y,z,t)| (2y+z-t=0) \mbox{ et } (x-z-t)=0\}$$
Sont-ils supplémentaires?\\
Construire un endomorphisme $f$ de $\R^4$ tel que $Ker f=F$ et $Im(f)=G$. 
\end{exo}

\begin{exo}
On pose $\mathfrak{sl}_{2}$ comme étant l'ensemble des matrices de trace nulle à coefficient dans $\C$. Montrer que les éléments de 
$\mathfrak{sl}_{2}$ sont soit nilpotents soit diagonalisables.
\end{exo}

\end{document} 
