\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles math?matiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Réduction des endomorphismes/}
\rhead{2007/2008}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD1: Espaces Vectoriels}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\vspace{-1cm}
\begin{exo}
Dans chacun des exemples suivants, $E$ est-il un $\K$-espace vectoriel? Justifier.
\begin{itemize}
\item $E=\{(x,y,z)\in \R^3\mid x+2y+3z=0\}$ $(\K=\R)$
\item $E=\{(x,y,z)\in \R^3\mid x+2y+3z=6\}$ $(\K=\R)$
\item $E$ est l'ensemble des matrices symétriques de taille $2\times2$
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo} 
On considère les ensembles suivants :
\begin{itemize}
    \item $\mathcal U$ l'ensemble des
suites $ (u_n)_{n \ge 0}$ réelles (c'est à dire $u_n \in
\R$, $ \forall n \in \N$),
    \item $\mathcal U_0$ l'ensemble des suites de
    $\mathcal U$ convergeant vers $0$,
    \item $\mathcal U_b$ l'ensemble des suites bornées de
    $\mathcal U$,
    \item $\mathcal U_c$ l'ensemble des suites convergentes  de
    $\mathcal U$.
\end{itemize}
Montrer que
\begin{enumerate}
    \item $\mathcal U$ est un $\R$-espace
    vectoriel,
    \item $\mathcal U_0$, $U_{b}$, $U_{2}$  sont des sous-espaces vectoriels du  $\R$-espace
    vectoriel $\mathcal
    U$,
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}  Soit $\mathcal F$ l'ensemble des fonctions définies
de $\R$ dans $\R$.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que $\mathcal F$ est un $\R$-espace
    vectoriel.
\end{enumerate}
Parmi les ensembles suivants, lesquels constituent des
sous-espaces vectoriels du $\R$-espace vectoriels $\mathcal F$
?
\begin{enumerate}
    \item $\mathcal F_0 = \left\{ f \in \mathcal F ~|~f(0) = 0
    \right\}$,
     \item $\mathcal F_1 = \left\{ f \in \mathcal F ~|~f(1) = 0
    \right\}$,
    \item $\mathcal F_2 = \left\{ f \in \mathcal F ~|~f(0) = 1
    \right\}$,
    \item $\mathcal F_3 = \left\{ f \in \mathcal F ~|~f(0) = 0
    \mbox{ et } f(1) = 0
    \right\}$,
    \item $\mathcal F_4 = \left\{ f \in \mathcal F ~|~\mbox{$f$ est continue} \right\}$,
   \item $\mathcal F_5 = \left\{ f \in \mathcal F ~|~\mbox{$f$ est dérivable} \right\}$,
   \item $\mathcal F_6 = \left\{ f \in \mathcal F ~|~\mbox{$f$ est continue et croissante}
   \right\}$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Les familles suivantes sont-elles libres? Justifier
\begin{itemize}
\item[1)]$\left(\left(\begin{array}{c} -1 \\2\end{array}\right); \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1\end{array}\right)\right)$
\item[2)]$\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\2  \end{array}\right); \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c} 5 \\ -1\end{array}\right)\right)$
\end{itemize}
Donner deux bases de $\R^2$ utilisant les vecteurs précédents
\end{exo}

\begin{exo} Soient $P_0, ~P_1, ~P_2$ et $P_3$ les polynômes définis par
\begin{align*}
&P_0(X) = (X-1)(X-2)(X-3), &P_1(X)=X(X-2)(X-3),
\\&P_2(X)=X(X-1)(X-3), &P_3(X)=X(X-1)(X-2).
\end{align*}
Montrer que ces polynômes forment une famille libre de $\R[X]$.\\
Montrer qu'ils forment une base des polynomes de degré $\leqslant3$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\{(x,y,z)\in \R^3\mid x+2y+3z=0\}$. Trouver une base de $E$ et la completer en une base de $\R^3$

\end{exo}

 \end{document}
