\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
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\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
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\newcommand{\gnq} {>}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2008/2009}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD2}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Savez-vous ce qu'est un espace vectoriel, une base d'un espace vectoriel, une application linéaire et la matrice d'une application linéaire dans une base?\\
Si la réponse est non, passez 10 minutes MAXIMUM à relire votre cours et à me poser des questions.\\
Devoir maison: Savoir ce qu'est un espace vectoriel, une base d'un espace vectoriel, une application linéaire et la matrice d'une application linéaire dans une base!\\
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\K$ un corps quelconque (par exemple $\R$ ou $\C$), $E=\K^2$ et $F=\K^3$.
\begin{enumerate}
\item Donner une famille libre de $E$ non génératrice et une famille génératrice non libre de $E$.
\item Est-ce que l'application determinant:  $det: E\rightarrow \K$ est une application linéaire?
\item Soit $f:\begin{array}{r c l} E&\rightarrow& E\\ (x,y)&\mapsto &(x+y,2x-y)\end{array}$
\begin{itemize}
\item[i)] Ecrire la matrice de l'application $f$ dans la base canonique.
\item[ii)] Déterminer le noyau et l'image de $f$.
\end{itemize}
\item Mêmes questions avec $F$ à la place de $E$ et $f: \begin{array}{r c l}
F & \rightarrow & F\\, 
(x,y,z)&\mapsto &(3x+2y, 3y+2z, -4z+9x)\\
\end{array}$
\item Ecrire la matrice de cette dernière application dans la base $((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1))$ (après avoir vérifié que cette dernière famille est une base de $F$).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'espace vectoriel $E$ des polynomes de degré inférieur à 2 et l'application $D:E\rightarrow E$ de dérivation.
\begin{itemize}
\item[i)] Ecrire la matrice de l'application $D$ dans la base canonique $B$.
\item[ii)] Déterminer le noyau et l'image de $D$.
\item[iii)] Ecrire la matrice de $D$ dans la base $B'=((X-1)^n)_{n=0,1,2}$.
\item[iv)] Ecrire la matrice de passage de $B$ à $B'$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans chacun des cas ci-dessous, $E$ et $F$ seront deux espaces vecoriels donnés de dimension finie. On se donnera aussi une application $f:E\rightarrow F$. On demande de vérifier que l'application est une application linéaire et d'écrire la matrice de l'application $f$ dans des bases de votre choix. 
\begin{itemize}
\item $E=F=M_2(\K)$. On pose $f$ comme étant l'application de transposition: $A\mapsto A^t$.
\item $E=M_2(\K)$, $F=M_{2,3}(\K)$. On pose $A=\left(\begin{array}{ c c c} a & b & c\\ d & e & f\\ \end{array}\right)$. On définit $f$ par $f.B=B.A$ pour $B\in E$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\R^2$. Soit $D\subset E$ la droite d'équation $x-2y=0$. On définit $S:E\rightarrow E$ comme étant la symétrie orthogonale par rapport à $D$. \\
Ecrire la matrice de $S$ dans la base canonique et dans une base de votre choix (Essayez de vous faire en sorte que la matrice soit plus simple).\\
Ecrire la matrice de passage d'une base à l'autre.
Determiner le noyau de $S-Id$ et le noyau de $S+Id$. Interprétation géométrique? 
\end{exo}

\end{document} 
