\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
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\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2008/2009}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD5}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}

\begin{exo}
Soit $F\subset E$ un sous espace vectoriel, $W$ une base de $F$ complétée en une base $B$ de $E$.
Soit $f$ un endomorphisme de $E$. Donner (et démontrer) une condition nécéssaire et suffisante sur $Mat_{B}(f)$ pour que $F$ soit stable par $f$ 
(\emph{i.e.} $f(F)\subset F$).\\
\emph{Indice}: On pourra essayer sur des cas particuliers en petite dimension pour voir ce qui se passe.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $\K=\R$ et $f:\K^2\rightarrow \K^2$ l'application définie par $f(x,y)=(y,-x)$.
\begin{enumerate}
\item Interpreter $f$ de façon géométrique.
\item Quelles sont les valeurs propres et vecteurs propres de $f$?
\item Memes questions avec $f(x,y)=(y,x)$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f:\begin{array}{r c l}  & &\\ \K^2 &\rightarrow &\K^2\\ (x,y) & \rightarrow & (0,0) \\ \end{array}$. L'application $f$ est-elle un endomorphisme? A-t-elle des valeurs propres? Est-elle diagonalisable?
\end{exo}

\begin{exo}
Donner un exemple d'endomorphisme trigonalisable, non diagonalisable (justifier).
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $A=\left(\begin{array}{ c c} 1 & 2\\ 0 & 3 \end{array}\right)$. Est-ce que $A$ est diagonalisable?\\
Mêmes questions avec $A=\left(\begin{array}{ c c c} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$.
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\R^3=\{ X=(x,y,z)| x,y,z\in \R\}$. On considère $F_1=\{X| x+2y=2z\}$ et $F_2=\{X| x+3z+1=0\}$. Le sous-ensemble $F_i$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$? Si oui, en donner une base, ainsi qu'un supplémentaire $G_i$ dans $E$. \\
Soit $S_i$ la symétrie par rapport à $F_i$ parallèlement à $G_i$. 
Ecrire la matrice de l'application $S_i$ dans une base de votre choix puis dans la base canonique de $E$ (si $F_i$ est un s.e.v). 
\end{exo}

\begin{exo}
\item[(i)]Soit $n\in \N^*$ et $E=\{f:[\![1;n]\!]\rightarrow \K\}$. Montrer que $E$ est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension? Exhiber une base de $E$.
\item[(ii)]Soit $g:E\rightarrow E$ l'application définie ainsi: $g(f)(i)=\left\{ \begin{array} {l l} f(i+1) & \mbox{ si } 1\leqslant i\leqslant n-1\\ 0 & \mbox{ si } i=n. \end{array}\right.  $
Montrer que $g$ est un endomorphisme de $E$. Quelles sont les valeurs propres de $g$? Et les vecteurs propres?
\item[(iii)] Mêmes questions (ici $\K=\C$) avec l'endomorphisme $h$ défini ainsi: $h(f)(i)=\left\{ \begin{array} {l l} f(i+1) & \mbox{ si } 1\leqslant i\leqslant n-1\\  f(1) & \mbox{ si } i=n.\end{array}\right.$
\item[(iv)] Soit $k\in \N^*$ fixé. Donner les résultats (presque) sans calculs pour l'endomorphisme $t_k$ défini ainsi: $t_k(f)(i)=\left\{ \begin{array} {l l} f(i+k) & \mbox{ si } 1\leqslant i\leqslant n-k\\  f(j) & \mbox{ si } i+k=n+j.\end{array}\right.$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E=\K_N[X]$ (On fera tout d'abord les calculs dans le cas $N=2$). On considère les endomorphismes $f$ et $g$ suivants:
$$f(P)(X)=P(X-2) \qquad g(P)(X)=P(X+1)-P'(X).$$
Determiner les valeurs propres et sous-espaces propres de $f$ et $g$. Diagonaliser ces endomorphismes
\end{exo}

\end{document} 
