\documentclass[french,12pt]{article}

% Les packages....
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
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%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
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% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{Mathématiques S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD2: Applications linéaires}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}
Les exercices estampillés (*) sont censés être un peu plus difficiles.

\begin{exo}
Soit $\K$ un corps quelconque (par exemple $\R$ ou $\C$), $E=\K^2$ et $F=\K^3$.
\begin{enumerate}
\item Donner une famille libre de $E$ non génératrice et une famille génératrice non libre de $E$.
\item Est-ce que l'application determinant:  $det: E\rightarrow \K$ est une application linéaire?
\item Soit $f:\begin{array}{r c l} E&\rightarrow& E\\ (x,y)&\mapsto &(x+y,2x-y)\end{array}$
\begin{itemize}
\item[i)] Ecrire la matrice de l'application $f$ dans la base canonique.
\item[ii)] Déterminer le noyau et l'image de $f$.
\end{itemize}
\item Mêmes questions avec $F$ à la place de $E$ et $f: \begin{array}{r c l}
F & \rightarrow & F\\, 
(x,y,z)&\mapsto &(3x+2y, 3y+2z, -4z+9x)\\
\end{array}$
\item Ecrire la matrice de cette dernière application dans la base $((0,0,1), (0,1,1), (1,1,1))$ (après avoir vérifié que cette dernière famille est une base de $F$).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On considère l'espace vectoriel $E$ des polynomes de degré inférieur à 2 et l'application $D:E\rightarrow E$ de dérivation.
\begin{itemize}
\item[i)] Ecrire la matrice de l'application $D$ dans la base canonique $B$.
\item[ii)] Déterminer le noyau et l'image de $D$.
\item[iii)] Ecrire la matrice de $D$ dans la base $B'=((X-1)^n)_{n=0,1,2}$.
\item[iv)] Ecrire la matrice de passage de $B$ à $B'$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}
Dans chacun des cas ci-dessous, $E$ et $F$ seront deux espaces vecoriels donnés de dimension finie. On se donnera aussi une application $f:E\rightarrow F$. On demande de vérifier que l'application est une application linéaire et d'écrire la matrice de l'application $f$ dans des bases de votre choix. 
\begin{itemize}
\item $E=F=M_2(\K)$. On pose $f$ comme étant l'application de transposition: $A\mapsto A^t$.
\item $E=M_2(\K)$, $F=M_{2,3}(\K)$. On pose $A=\left(\begin{array}{ c c c} a & b & c\\ d & e & f\\ \end{array}\right)$. On définit $f$ par $f.B=B.A$ pour $B\in E$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $E=\R^2$. Soit $D\subset E$ la droite d'équation $x-2y=0$. On définit $S:E\rightarrow E$ comme étant la symétrie orthogonale par rapport à $D$. \\
Ecrire la matrice de $S$ dans la base canonique et dans une base de votre choix (Essayez de vous faire en sorte que la matrice soit plus simple).\\
Ecrire la matrice de passage d'une base à l'autre.
Determiner le noyau de $S-Id$ et le noyau de $S+Id$. \\
Donner une interprétation géométrique.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $a_1<a_2<\dots<a_n$, $n$ nombres réels ordonnés.
Soit $f_i(x)=exp(a_nx)$.\\
Montrer que la famille $(f_1, f_2, \dots, f_n)$ est libre
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Montrer que $\C^n$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $2n$.\\
Est-ce que $\sigma: \C^n\rightarrow \C^n$ définie par $\sigma(z_1,\dots, z_n)=(\overline{z_1}, \dots, \overline{z_n})$ 
est une $\R$-application linéaire? Une $\C$-application linéaire? Si oui écrire sa matrice dans une base appropriée.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.\\ 
Montrer qu'il existe un endomorphisme $f$ de $E$ tel que $Im(f)=Ker(f)$ si et seulement si la dimension de $E$ est paire.
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Pour tout entier $n$, trouver un exemple d'endomorphisme $f$ tel que
$$0\subsetneq Im(f^n)\subsetneq Im(f^{n-1})\subsetneq\dots\subsetneq Im(f)\subsetneq E$$
\end{exo}
\end{document} 
