\documentclass[french,10pt]{article}

% Les packages....
\usepackage{a4}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{euscript,latexsym,pifont}
\usepackage{enumerate,theorem}
\usepackage{vmargin, indentfirst, fancyheadings} 
\setpapersize{A4}

%Quelques commandes perso pour les principaux symboles mathmatiques
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{\Bbbk}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\nl}{\mid \! \!}
\newcommand{\nr}{\! \! \mid}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\Od}{\mathcal{O}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\lnq} {<}
\newcommand{\gnq} {>}
\newcommand{\gl}{\mathfrak{gl}}
\newcommand{\GL}{\textrm{GL}}

% Environement pour les exercices
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exo}{Exercice}

\begin{document}

% La mise en page
%\setlength{\headrulewidth}{0pt}
\cfoot{\thepage}
\chead{MASS S3}
\lhead{Algèbre Linéaire}
\rhead{2009/2010}
\pagestyle{fancy}

% Le titre (avec un peu de bidouille)
\title{TD6: Applications}
\author{}
\date{}

\maketitle
\thispagestyle{fancy}


\begin{exo}[Utilisez des théorèmes]
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables? 
$$\left(\begin{array} {c c} 1 & 1\\ -1 & 1\end{array} \right), \qquad \left(\begin{array} {c c} 4 & 9\\ -1 & -2\end{array} \right), \qquad  \left(\begin{array} {c c} 3 & 9\\ -1 & -3\end{array} \right)$$
On distinguera les cas $\K=\C$ et $\K=\R$ et on ne fera pas de calculs d'espaces propres.
\end{exo}

%\begin{exo}
%Soit $A=\left(\begin{array} {c c} 1 & 2\\ 3 & 4\end{array} \right)$. Calculer $A^4$ et $A^{-1}$ grâce à Cayley Hamiltonen fonction de $A$ et $Id$.\\
%Meme question pour $A=\left(\begin{array} {c c c} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 &0 &1\end{array} \right).$ en fonction de $A$, $A^2$ et $Id$.\\
%\end{exo}

\begin{exo}
Diagonaliser (suivant possibilité) les matrices suivantes sur $\R$.
$$A_1=\left(\begin{array} {c c c} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 &-1 &2\end{array} \right),\qquad A_2=\left(\begin{array} {c c c} 3 & 0 & -3\\ -2 & 1 & 1\\ -1 &-1 &2\end{array} \right)
%, \qquad A_3=\left(\begin{array} {c c c c} 0& 2 & -2 & 2\\ -2 &0& 2 & 2\\ -2 &2 &0 &2\\ 2&2 &2 & 0\end{array} \right)
$$
%\newline
%Mêmes questions avec $A_2X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 3 \end{array}\right)$ et $A_3X=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 3\\4 \end{array}\right)$
\end{exo}

\begin{exo}
Soient $u_n$, $v_n$ et $w_n$ trois suites définies par $u_0=1$, $v_0=-1$, $w_0=3$ et
$$\left\{\begin{array}{l} u_{n+1}=2u_n-v_n-w_n\\v_{n+1}=2v_n-w_n-u_n\\w_{n+1}=2w_n-u_n-v_n\end{array}\right.$$
Trouver une expression générale pour $u_n, v_n$ et $w_n$.
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre l'équation différentielle $y'''=6y-11y'+6y''$ en $y(t)$ avec $y(0)=y'(0)=y''(0)=1$.
\end{exo}

\begin{exo}
Diagonaliser
$\left( \begin{array} {c c c c c} 0 & 0& 0& 0& 1\\
                                    0& 0 &0 & 1&0\\
0& 0 & 1 & 0 &0 \\
0& 1& 0& 0&0 \\
1& 0& 0& 0& 0\\ \end{array} \right)$\\
Généraliser en toute dimension.
\end{exo}


\begin{exo}[*]
Soient $A\in\mathcal M_{n,p}(\K)$ et $B\in\mathcal M_{p,n}(\K)$. On note $C=I_{n}-AB$ et $D=I_{p}-BA$.
\begin{itemize}
\item[1)] Montrer que si $C$ est inversible alors $D$ est inversible (résoudre $DX=0$).
\item[2)] Le cas échéant, exprimer $D^{-1}$ en fonction de $A,B, C^{-1}$.
\item[3)] En déduire que $AB$ et $BA$ ont les memes valeurs propres non-nulles. Examiner le cas de la valeur propre 0 si $n=p$.
\end{itemize}
\end{exo}

\end{document} 
