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\newtheorem{thm}{Théorème}[section]
\newtheorem{prop}{Proposition}[section]
\newtheorem{defi}{Définition}[section]
\newtheorem{lemt}{Lemme technique}[section]
\newtheorem{lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{cor}{Corollaire}[section]
\newtheorem{conj}{Conjecture}[section]
\title{TD n°1: Dérivées partielles}
\date{}
\author{Jérémie joudioux}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\M}[1]{\mathcal{M}_{#1}(\mathbb{R})}
\newcommand{\as}{\backslash}
\newcommand{\en}[1]{\{1,\dots,#1\}}
\newcommand{\pt}[2]{\frac{\partial #1}{\partial#2}}
\newcommand{\ptd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial {#2}^2}}
\newcommand{\ptdd}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\coo}[2]{(#1_1,\dots,#1_{#2})}
\newcommand{\ch}{\text{ch}}
\newcommand{\sh}{\text{sh}}
\newcommand{\ra}[4]{ \left\{ \begin{array}{ccc} #1 & \longrightarrow & #2\\ #3 & \longmapsto & #4 \end{array} \right.}
\newcommand{\cad}{c'est-à-dire }
\newcommand{\ve}[2]{\left(\begin{array}{c} #1\\#2\\ \end{array}\right)}

\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
\newcounter{exercice}
\newenvironment{exo}{\par\smallskip \addtocounter{exercice}{1} \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}} \\}{\medskip \par}

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\begin{document}
\fancyhead[L]{L2 maths -- Algèbre linéaire}
\fancyhead[R]{TD Algèbre linéaire}
\fancyfoot[R]{\tiny Mickael Bulois \& Jérémie Joudioux}
\begin{center}
\huge TD n°10: Algèbre linéaire.
\end{center}


\begin{exo}
Résoudre sans se poser de questions. 
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $y''(x)-4y'(x)+3y(x)=0$;
\item $y''(x)+2y(x)=0$
\item $y''(x)+3y'(x)+4y(x)=0$
\item $y''(x)+4y'(x)-4y(x)=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{exo}
On considère le système différentiel donné par:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lcl}
x'_1(t)&=&x_1(t)+x_2(t)-x_3(t)\\
x'_2(t)&=&2x_1(t)+3x_2(t)-4x_3(t)\\
x'_3(t)&=&4x_1(t)+x_2(t)-4x_3(t)\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le système linéaire en terme matriciel sous la forme: $X'=A\cdot X$.
\item Diagonaliser $A$ (\cad justifier que $A$ est diagonalisable, donner ses valeurs propres et une base de vecteurs propres associés).
\item Donner les solutions du système différentiel.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
\'Etudier la stabilité des points d'équilibre de systèmes différentiels suivants:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $
\left\{ \begin{array}{ccc}
x'&=&x-y\\
y'&=&2x+3y\\
\end{array}
\right.
$
\item $
\left\{ \begin{array}{ccc}
x'&=&-x+4y\\
y'&=&-9x+y\\
\end{array}
\right.
$
\item $
\left\{ \begin{array}{ccc}
x'&=&x-2y\\
y'&=&-3x+2y\\
\end{array}
\right.
$
\item $
\left\{ \begin{array}{ccc}
x'&=&3x+3y\\
y'&=&x+y\\
\end{array}
\right.
$
\item $
\left\{ \begin{array}{ccc}
x'&=&-x+2y\\
y'&=&-2x+3y\\
\end{array}
\right.
$
\item $
\left\{ \begin{array}{ccc}
x'&=&-2x-y\\
y'&=&-x-4y\\
\end{array}
\right.
$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}