| @ séminaire Stéphanois de Mathématiques Accessibles Driss ESSOUABRI (ICJ, Saint-Etienne) Fonctions zêtas et géométrie des ensembles fractals discrets. Résumé : Dans cet exposé j'expliquerai comment les fonctions zêta permettent d'étudier de façon indirecte la géométrie des ensembles discrets non bornés et présentant une certaine fractalité à l'infini. J'expliquerai en particulier comment les propriétés analytiques de ses fonctions zêta permettent, d'obtenir des propriétés (inaccessibles directement) de la géométrie de cette classe de fractals discrets. http://www.cnrs.fr/insmi/spip.php?article616Le début de l'exposé ne devrait demander aucun prérequis, mais une bonne compréhension de la suite suppose une légère culture mathématique post-bac. |
| @ séminaire Stéphanois de Mathématiques Accessibles Bernard GUY (Ecole n.s. des mines de Saint-Etienne) Quel espace mathématique pour l'espace-temps? Résumé : Nous avons appris à situer les événements du monde dans une scène à quatre dimensions (trois d'espace et une de temps), constituant l'espace-temps de la physique mathématique. On y étudie le comportement de vecteurs (x, y, z, t) lors de diverses opérations, dans le respect de contraintes d'origine physique (théorie de la relativité). Mais il ne suffit pas de regarder le monde pour y « lire » de tels vecteurs ; il a fallu une longue histoire pour passer d'une première appréhension du monde (étape 1) à la construction de concepts philosophiques d'espace et de temps (étape 2) puis d'un espace-temps physique (les étalons, les procédures ; étape 3) et enfin mathématique (les variables, les équations ; étape 4). Le premier objectif du séminaire est d'examiner à nouveau ces étapes et montrer qu'une nouvelle séquence est possible. Celle-ci repose sur une compréhension non plus substantielle et séparée des concepts d'espace et de temps, mais relationnelle, en composition / opposition l'un à l'autre. Cela conduit à attribuer à la variable temporelle la signification d'une position dans l'espace géométrique même (pensons à la position du soleil dans le ciel ou du photon dans l'horloge atomique), associée à trois coordonnées, à partir desquelles on construit le temps scalaire t. On est alors conduit à un espace-temps mathématique traitant de vecteurs (x, y, z, t_x, t_y, t_z) avec t = (t_x^2 + t_y^2 + t_z^2)^1/2. Le second objectif du séminaire sera de montrer le nouveau regard apporté sur un ensemble de problèmes de la physique contemporaine, comme autant de pistes de recherche, en continuité avec la physique standard, et esquissant une physique basée sur l'identité des relations spatiales et temporelles (reprise des transformations de Lorentz, des équations de Maxwell et de la gravitation, questions de la matière noire et de l'énergie noire, relations entre mécanique quantique et relativité générale…). On indiquera de façon préliminaire comment les formulations mathématiques correspondantes doivent être reprises (formulation relationnelle de lois, trajectoires, probabilités… ; l'auteur n'est pas mathématicien mais physicien utilisateur des mathématiques).Prérequis: aucun |
| @ séminaire Stéphanois de Mathématiques Accessibles Olivier MARCHAL (ICJ) Matrice+aléatoire= Matrice Aléatoire Résumé : Si vous aimez les matrices et que vous aimez l'aléatoire, venez tout mélanger et savoir ce que l'on peut faire avec des matrices aléatoires. Plus concrètement, je présenterai les résultats connus sur les valeurs propres associées à une matrice aléatoire ainsi que les conjectures d'universalité s'y rattachant. Ensuite je présenterai les grandes lignes de modèles physiques utilisant des modèles de matrices ainsi que leur lien avec les polynômes orthogonaux.Pour illustrer, je présenterai aussi de nombreuses simulations numériques (en Maple) des différents résultats Mots clés: Matrices, valeurs propres, probabilités,variables aléatoires, polynomes orthogonaux. |
| @ séminaire Stéphanois de Mathématiques Accessibles Laetitia Paoli (UJM) Systèmes dynamiques avec contraintes unilatérales: une introduction à la mécanique non-régulière. Résumé : L'etude de la dynamique de solides rigides est un domaine fort ancien de la mecanique. Depuis les travaux de Newton et de Lagrange, les liens entre la mecanique rationnelle et les mathematiques ont ete importants, a la fois pour la description des mouvements et pour leur etude (calcul infinitesimal, systemes dynamiques, calcul des variations, varietes riemanniennes). Lorsque le mouvement des solides est limité par des obstacles (sols, murs, plafond, solides se "genant" mutuellement), on ajoute au système différentiel donnant la description de la dynamique des conditions unilatérales qui traduisent les limitations du mouvement dues aux obstacles. On entre alors dans le champ de la mécanique non regulière et les outils mathématiques nécessaires a l'étude de ces problèmes sont reliés a la théorie de la mesure. L'objet de cet exposé sera de présenter la formulation de ces problèmes en terme d'inclusions différentielles, de décrire les difficultés soulevées et de présenter un résultat d'existence base sur une technique de pénalisation.Prérequis: cours du semestre 5 de Licence de Mathematiques (Mesure et Intégration; Mécanique) |
| @ séminaire Stéphanois de Mathématiques Accessibles Frédéric CHARDARD (UJM) Les ondes solitaires de l'équation de Korteweg-de Vries Résumé : L'équation de Korteweg-de Vries a été introduite au dix-neuvième siècle pour décrire des couches d'eau peu profondes soumises à la gravité. Elle admet des solutions de type onde solitaire, c'est-à-dire des solutions stationnaires dans un certain référentiel, localisées en espace, ce qui était en accord avec les observations étonnantes de John Scott Russell. à partir des années 1950, ce modèle a connu un regain d'intérêt. En particulier, la stabilité orbitale des solitaires a été prouvée, c'est-à-dire que si une solution est proche à un certain temps d'une onde solitaire, alors, en tout temps, elle est proche de l'un des translatés de l'onde solitaire. Au cours de cet exposé, nous présenterons quelques résultats sur cette équation.Quelques pré-requis: dérivées partielles, conservation de l'énergie, Fourier, problème de Cauchy |
| @ séminaire Stéphanois de Mathématiques Accessibles Alain Faisant (Saint-Etienne) DIOPHANTE A BABYLONE? a propos des mathématiques babyloniennes Résumé : On se propose d'étudier "Plimpton 322" . Il s'agit d'une célèbre tablette mathématique cunéiforme du 18 ème siècle (avant notre ère) dont la singularité a fait couler beaucoup d'encre : elle fournit 15 solutions en nombres entiers de l'équation x^2+y^2=z^2. |
| @ séminaire Stéphanois de Mathématiques Accessibles Stéphane Gaussent (Saint-Etienne) Les représentations du groupe symétrique d'après Okounkov et Vershik Résumé : L'exposé présentera une approche relativement nouvelle pour décrire la théorie des représentations du groupe symétrique sur le corps des nombres complexes. Cette approche utilise les éléments de Jucys-Murphy de l'algèbre du groupe symétrique. Les tableaux de Young, qui indexent les représentations irréductibles, apparaissent naturellement comme les valeurs propres possibles de ces éléments. Je rappellerai les définitions de base de la théorie des représentations des groupes finis, de sorte que l'exposé devrait être accessible à un public assez large. |
| @ Colloquium Stéphanois de Mathématiques Accessibles Michaël Bulois (ICJ) Indécidabilité: Théorèmes de complétude et d'incomplétude de Gödel. Résumé : Le travail quotidien du mathématicien consiste à confirmer ou infirmer des énoncés à l'aide de démonstrations ou de contre-exemples. Voici 80 ans, Kurt Gödel a ébranlé les certitudes de ses contemporains avec ses théorèmes d'incomplétude. En substance, ses résultats mettent en lumière un troisième type d'énoncé (au côté des démontrables et des infirmables): ce sont les énoncés indécidables. Je parlerai des outils qui permettent de formaliser mathématiquement ce qui précède. Il sera donc question de ce qui s'appelle maintenant la théorie des modèles. |