Écriture des nombres non entiers

3	Écriture des nombres non entiers

Par définition, un nombre x est non entier s'il existe un entier n tel que

n<x<n+1.

n est appelé la partie entière par défaut de x, notée

ë x û

n+1 est appelé la partie entière par excès de x, notée

é x ù

Le nombre x-n, noté {x}, appartient à l'intervalle [0,1[. On a donc toujours

x=ë x û + {x}

et la représentation de x est celle de ë x û, qui est un entier, suivie du caractère <<,>> (ou <<.>> pour les anglo-saxons), suivi de la représentation de {x}. Comme on sait déjà représenter un entier, il reste à savoir comment représenter un élément de l'intervalle [0,1[: toute la suite de la section est consacrée à la représentation des nombres compris entre 0 (au sens large) et 1. C'est l'objet du résultat suivant :

Théorème 3.1 Soit b>1. Pour tout x Î [0,1[, il existe une unique suite d'entiers

(f₁,f₂,...,f_n,...)

vérifiant

x = å_i=1^¥f_i.b^-i = f₁.b^-1 +f₂.b^-2+... = f₁/b + f₂/b²+...
pour tout i ³ 1, 0 £ f_i < b

Comme pour les nombres entiers, les chiffres utilisés pour écrire x en base b sont 0, 1,..., b-1. On appelle parfois la suite (f₁,f₂,...) développement de x en base b. Remarquons que la suite des chiffres f_i est infinie par définition : elle peut éventuellement se terminer par une infinité de 0. Dans un tel cas, on écrit seulement la partie <<finie>> de la suite.

Exemples :

Le rationnel 1/2 s'écrit 0,5 en base 10 (tous les autres chiffres sont nuls), et 0,1 en base 2.
Le même nombre s'écrit 0,11111... en base 3 (tous les chiffres sont égaux à 1).

3.1

Changement de base

Nous allons voir deux algorithmes de passage d'une base dans une autre, pour les nombres non entiers, selon la forme de la suite des chiffres (f₁,f₂,...) qui constitue leur écriture. Il y a deux sortes de nombres non entiers :

les nombres rationnels, dont l'écriture est <<ultimement périodique>> : à partir d'un certain rang, le même motif se répète. Par exemple, en base 10, 0,234234234... (le motif 234 se répète indéfiniment), ou bien encore 0,2453535353... (les deux premiers chiffres sont 2 puis 4, et le motif 53 se répète indéfiniment). Rentrent dans cette catégorie les nombres dont le développement en base b est fini (le motif qui se répète est 0!). Les rationnels sont les résultats de la division d'un entier par un autre. Ainsi, 0,234234234... est le résultat de la division de 26 par 111 (nous verrons plus loin comment l'on obtient les deux termes de la division). C'est donc aussi le développement en base 10 du rationnel 26/111.
les irrationnels, que l'on ne peut pas obtenir en divisant un entier par un autre. Dans cette catégorie, et parmi les plus connus, on trouve 2, p ou encore e. Pour ces nombres, l'écriture (dans une base quelconque) ne présente pas de motifs qui se répètent indéfiniment.

Nous allons donc voir deux méthodes de changement de base, selon que l'on a affaire à un rationnel ou à un irrationnel. Notons toutefois que la méthode pour les irrationnels est générale, en ce qu'elle peut être appliquée quelle que soit la nature (rationnel ou irrationnel) du nombre dont on veut changer la base de représentation. On dispose donc de 2 méthodes distinctes pour changer la base de représentation d'un rationnel, et on choisit en général la plus rapide.

Notation : dans le cas d'un rationnel, on notera

0,x₁x₂...x_np₁p₂...p_m

le rationnel dont le développement commence par les chiffres x₁, x₂,..., x_n et se poursuit avec la répétition indéfinie du motif p₁p₂...p_m.

3.1.1

Cas des rationnels

Soit le nombre (écrit en base b)

0,x₁x₂...x_np₁p₂...p_m

dont on veut trouver le développement en base b'. On a le résultat suivant (avec des notations évidentes) :

Théorème 3.2 Soit x=0,x₁x₂...x_np₁p₂...p_m;

si m=0,

x=0,x₁x₂...x_n=

x₁x₂...x_n

bⁿ
si n=0,

x=0,p₁p₂...p_m=

p₁p₂...p_m

b^m-1
si n>0 et m>0,

x=0,x₁x₂...x_np₁p₂...p_m =

x₁x₂...x_n

bⁿ
+

1

bⁿ
.

p₁p₂...p_m

b^m-1

Preuve : le point 1 est évident (simple exploitation de la définition), le point 3 est une conséquence directe des 2 points précédents. Reste à prouver le point 2 : dire que l'écriture de x est périodique, de période m, revient à dire que les chiffres de numéro km+i, avec k ³ 0 et 1 £ i £ m, sont égaux à p_i. On a donc

x=0,p₁p₂...p_m

k=0

i=1

p_i

æ
ç
ç
è

ö
÷
÷
ø

km+i

Dans la somme intérieure, on peut factoriser par b^-km, qui ne dépend pas du paramètre de sommation i :

k=0

é
ê
ê
ê
ê
ê
ë

æ
ç
ç
è

ö
÷
÷
ø

i=1

p_i

æ
ç
ç
è

ö
÷
÷
ø

ù
ú
ú
ú
ú
ú
û

On remarque alors que la somme intérieure ne dépend pas du paramètre de sommation k de la somme extérieure, on peut donc la factoriser; de plus, (1/b)^km=(1/b^m)^k. On obtient

é
ê
ê
ê
ê
ê
ë

i=1

p_i

æ
ç
ç
è

ö
÷
÷
ø

ù
ú
ú
ú
ú
ú
û

é
ê
ê
ê
ê
ê
ë

k=0

æ
ç
ç
è

b^m

ö
÷
÷
ø

ù
ú
ú
ú
ú
ú
û

Or b>1, du coup 0 < 1/b^m < 1, et on a, pour 0< a <1,

k=0

a^k=

lim

n®¥

k=0

a^k =

lim

n®¥

1-aⁿ⁺¹

1-a

On applique cette identité à la deuxième somme pour obtenir

é
ê
ê
ê
ê
ê
ë

i=1

p_i

æ
ç
ç
è

ö
÷
÷
ø

ù
ú
ú
ú
ú
ú
û

1-1/b^m

é
ê
ê
ê
ê
ê
ë

i=1

p_i

æ
ç
ç
è

ö
÷
÷
ø

ù
ú
ú
ú
ú
ú
û

b^m

b^m-1

On fait alors rentrer le terme b^m dans la somme pour obtenir finalement

i=1

p_ib^m-i

b^m-1

et la formule å_i=1^mp_ib^m-i dénote, bien sûr, l'entier qui s'écrit p₁p₂...p_m en base b.

Par exemple, prenons b=10 et x=0,234. On a n=0, m=3 et le théorème nous dit que

0,234 =

234

10³-1

234

999

9×26

9×111

111

comme annoncé précédemment. On aurait pu aussi s'arrêter à la deuxième étape, 234/999. L'algorithme de passage de la base b à la base b' est le suivant :

Trouver, à l'aide du théorème, quelle est la fraction, écrite en base b, qui correspond à x (b^m-1 est une suite de m chiffres tous égaux à b-1, de même qu'en base 10 10^m-1 est une suite de m chiffres tous égaux à 10-1=9).
Changer la représentation du numérateur et du dénominateur de la base b à la base b' comme vu précédemment pour les entiers.
Effectuer la division en base b'.

Exemple : Prenons b=3, b'=4, et x=0,12. On a n=0, m=2 et le théorème nous dit que

12₃

22₃

Or 12₃=11₄ et 22₃=20₄, et

11₄ : 20₄ = 0,22₄

donc le développement de x en base 4 est 0,22₄.

3.1.2

Cas général

Soit le nombre (écrit en base b) 0,f₁f₂... dont on veut trouver le développement en base b'. L'algorithme de passage est le suivant :

Multiplier x par b' (écrit en base b);
le nombre à gauche de la virgule, traduit en base b', est le chiffre suivant du développement en base b' de x;
continuer avec la partie fractionnaire, et s'arrêter si elle est nulle.

Exemple : Prenons b=2, x=0,01101 et b'=10; on a 10=1010₂ et l'algorithme donne (les nombres sont écrits en base 2, et les calculs sont faits dans cette base)

0,01101×1010	=	100,0001
0,0001×1010	=	0,1010
0,1010×1010	=	110,01
0,01×1010	=	10,1
0,1×1010	=	101,0 (la partie fractionnaire est nulle, on s'arrête)

et le développement de x en base 10 se lit de haut en bas, en traduisant les chiffres en base 10; on obtient

0,01101₂=0,40625₁₀

Vérifions en utilisant la première méthode, puisqu'on a affaire à un rationnel :

x=0,01101₂=

1101₂

100000₂

et cette fraction est bien égale à 0,40625.

Exercices de la partie 3

Donner la représentation en base 7 du nombre qui s'écrit 0,142857 en base 10.
Donner les décimales numéro 1724555, 125698548754 et 12545215489658745323 de l'écriture en base 16 de 1/11
Donner la représentation en base 2 de e=2,7182818... et p=3,1415926... (10 chiffres significatifs).
Un nombre s'écrit 0,2 en base b₃, et 0,6 en base b₄. Trouvez b₃ et b₄.
On se propose d'expliquer une curieuse propriété des bases 2, 5 et 10.
1. Remplir la table suivante :
  
  n 1 2 3 4 5
  
  2ⁿ
  
  5ⁿ
  
  1
  
  2ⁿ
  
  1
  
  5ⁿ
2. Expliquer le phénomène observé. Qu'en déduisez-vous sur l'écriture en base 10 des nombres réels dont l'écriture en base 2 ou 5 est finie ?
Donner la représentation en base b de 1/b+1 et 1/b-1.
Etudier les représentations de 1/2 et 1/3.
Soient a et b deux entiers strictement plus grands que 1.
1. Quelle est l'écriture de 1/a en base ab ? En déduire les écritures de 1/2, 1/4 et 1/8 en base 16.
2. Quelle est l'écriture de 1/a en base ab+1 ? En déduire les écritures de 1/3 et 1/5 en base 16.
3. Quelle est l'écriture de 1/ab+2 en base ab+1 ?
4. Quelle est l'écriture de 1/a-1 en base a³-1 ?
Donner l'écriture en base 8 du nombre 456/5. Quel est son
132165498756251433265585252558874512-ième chiffre après la virgule ?
Trouver la représentation en base 3 du nombre qui s'écrit 0,407 en base 10. Même question avec les nombres (toujours en base 10) 0,148 et 0,259. Que remarquez-vous ?

Plus généralement, montrer que le nombre (écrit en base 10) 0,abc a un développement en base 3 fini si abc est un multiple de 37.
On se propose d'étudier le changement de la base b à la base b^k pour les nombres non entiers.
1. Exprimer chacun des nombres suivants (écrits en base 2) dans les bases 4 et 8 :
  
  0,11 0,0111 0,10011 0,101101111
2. Décrire en quelques mots (et si possible justifier !) une méthode pour passer de la base b à la base b^k, pour les nombres à virgule.
Soit un nombre N qui s'écrit c₀,c₁c₂c₃c₄ sous forme décimale en base 10. On peut aussi écrire ce nombre sous la forme suivante, appelée forme de Horner :

N=c₀ +

1

10
(c₁ +

1

10
(c₂ +

1

10
(c₃ +

1

10
(c₄))))
Par exemple, le nombre N=1.739 s'écrit :

N=1 +

1

10
(7 +

1

10
(3 +

1

10
(9)))
On remarque que cette écriture n'est pas limitée aux nombres dont l'écriture décimale est finie et ainsi le nombre 1/3 s'écrit :

N=0 +

1

10
(3 +

1

10
(3 +

1

10
(3+

1

10
(...))))
Dans l'écriture sous la forme de Horner, on remarque que le facteur qui permet de passer à la décimale suivante est 1/10. Ceci est normal puisque l'on travaille en base 10. Cependant rien ne nous oblige à rester en base 10.
1. Si on remplace 1/10 par 1/a, avec 1<a, quelle est la valeur du nombre qui s'écrit 2,22222... (... désigne une suite infinie de 2) ?
2. Plus généralement, on peut écrire un nombre N sous forme de Horner de la manière suivante:
  N = t₀ + b₀ (t₁ + b₁ (t₂ + b₂ (t₃ + b₃ (...))))
  La suite (b₀,b₁,b₂,b₃,...) est appelé base de Horner et la séquence [t₀,t₁,t₂,t₃,...] est la représentation de N dans cette base. Dans le premier exemple, la base de Horner est constante de valeur 1/10 et la représentation dans cette base du nombre 1/3 est [0,3,3,3,3,...]. Dans cette base de Horner, la représentation de tout nombre N correspond à son écriture décimale en base 10.
  
  On définit maintenant la base de Horner suivante :
  
  B=(
  
  1
  
  1
  ,
  
  1
  
  2
  ,
  
  1
  
  3
  ,
  
  1
  
  4
  ,...)
  Donner l'écriture de e (base du logarithme népérien) sous la forme de Horner avec cette base. En déduire la représentation de e dans cette base de Horner.
  
  Rappel (?) :
  
  e =
  
  lim
  
  n¥
  
  n
  
  å
  
  k=0
  
  1
  
  k!
3. La formule d'Euler nous donne p comme somme de la série suivante :
  
  p = 2
  
  ¥
  
  å
  
  n=0
  
  2ⁿ(n!)²
  
  (2n+1)!
  
  Donner la 56765364986ème décimale de la représentation de p dans la base de Horner définie par
  
  B=(
  
  2
  
  3
  ,
  
  4
  
  5
  ,
  
  18
  
  7
  ,...,
  
  2n²
  
  2n+1
  ,...)